Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50983 / 48825
↖ ↑ ↗
← S 65.787011°
E100.057983°		 ← 250.53 m → S 65.787011°
E100.063477°		 →
↑
250.51 m
↓
↑
250.51 m
↓
S 65.789263°
E100.057983°		 ← 250.51 m →
62 757 m²		 S 65.789263°
E100.063477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777946472167969 y=0.745018005371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777946472167969 × 216)
    floor (0.777946472167969 × 65536)
    floor (50983.5)     		tx = 50983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745018005371094 × 216)
    floor (0.745018005371094 × 65536)
    floor (48825.5)     		ty = 48825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50983 / 48825 ti = "16/50983/48825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50983/48825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50983 ÷ 216
    50983 ÷ 65536     		x = 0.777938842773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48825 ÷ 216
    48825 ÷ 65536     		y = 0.745010375976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777938842773438 × 2 - 1) × π
    0.555877685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74634125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745010375976562 × 2 - 1) × π
    -0.490020751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53944559439848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74634125} λ = 1.74634125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53944559439848))-π/2
    2×atan(0.214499988463243)-π/2
    2×0.211298191245113-π/2
    0.422596382490226-1.57079632675     		φ = -1.14819994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74634125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.057983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14819994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.787011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50983 KachelY 48825 1.74634125 -1.14819994 100.057983 -65.787011
    Oben rechts KachelX + 1 50984 KachelY 48825 1.74643713 -1.14819994 100.063477 -65.787011
    Unten links KachelX 50983 KachelY + 1 48826 1.74634125 -1.14823926 100.057983 -65.789263
    Unten rechts KachelX + 1 50984 KachelY + 1 48826 1.74643713 -1.14823926 100.063477 -65.789263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14819994--1.14823926) × R
    3.93199999999538e-05 × 6371000     		dl = 250.507719999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14819994--1.14823926) × R
    3.93199999999538e-05 × 6371000     		dr = 250.507719999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74634125-1.74643713) × cos(-1.14819994) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.410129808061575 × 6371000     		do = 250.528400246364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74634125-1.74643713) × cos(-1.14823926) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.41009394683661 × 6371000     		du = 250.50649436402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14819994)-sin(-1.14823926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410129808061575-0.41009394683661)×R²
    abs(1.74643713-1.74634125)×3.58612249642398e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.58612249642398e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.58612249642398e-05×40589641000000     		ar = 62756.5545524686m²