Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50980 / 49135
↖ ↑ ↗
← S 66.476016°
E100.041504°		 ← 243.81 m → S 66.476016°
E100.046997°		 →
↑
243.75 m
↓
↑
243.75 m
↓
S 66.478208°
E100.041504°		 ← 243.79 m →
59 427 m²		 S 66.478208°
E100.046997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777900695800781 y=0.749748229980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777900695800781 × 216)
    floor (0.777900695800781 × 65536)
    floor (50980.5)     		tx = 50980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749748229980469 × 216)
    floor (0.749748229980469 × 65536)
    floor (49135.5)     		ty = 49135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50980 / 49135 ti = "16/50980/49135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50980/49135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50980 ÷ 216
    50980 ÷ 65536     		x = 0.77789306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49135 ÷ 216
    49135 ÷ 65536     		y = 0.749740600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77789306640625 × 2 - 1) × π
    0.5557861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74605363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749740600585938 × 2 - 1) × π
    -0.499481201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56916647216292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74605363} λ = 1.74605363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56916647216292))-π/2
    2×atan(0.208218666099606)-π/2
    2×0.205285489291945-π/2
    0.41057097858389-1.57079632675     		φ = -1.16022535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74605363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.041504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16022535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.476016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50980 KachelY 49135 1.74605363 -1.16022535 100.041504 -66.476016
    Oben rechts KachelX + 1 50981 KachelY 49135 1.74614951 -1.16022535 100.046997 -66.476016
    Unten links KachelX 50980 KachelY + 1 49136 1.74605363 -1.16026361 100.041504 -66.478208
    Unten rechts KachelX + 1 50981 KachelY + 1 49136 1.74614951 -1.16026361 100.046997 -66.478208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16022535--1.16026361) × R
    3.82599999999567e-05 × 6371000     		dl = 243.754459999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16022535--1.16026361) × R
    3.82599999999567e-05 × 6371000     		dr = 243.754459999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74605363-1.74614951) × cos(-1.16022535) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.399132917687706 × 6371000     		do = 243.810933486093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74605363-1.74614951) × cos(-1.16026361) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.399097837066471 × 6371000     		du = 243.789504436693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16022535)-sin(-1.16026361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399132917687706-0.399097837066471)×R²
    abs(1.74614951-1.74605363)×3.5080621235084e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.5080621235084e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.5080621235084e-05×40589641000000     		ar = 59427.3907277105m²