Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50977 / 81727
↖ ↑ ↗
← S 40.578499°
W 39.987488°		 ← 231.98 m → S 40.578499°
W 39.984741°		 →
↑
231.90 m
↓
↑
231.90 m
↓
S 40.580584°
W 39.987488°		 ← 231.97 m →
53 795 m²		 S 40.580584°
W 39.984741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388927459716797 y=0.623531341552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388927459716797 × 217)
    floor (0.388927459716797 × 131072)
    floor (50977.5)     		tx = 50977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623531341552734 × 217)
    floor (0.623531341552734 × 131072)
    floor (81727.5)     		ty = 81727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50977 / 81727 ti = "17/50977/81727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50977/81727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50977 ÷ 217
    50977 ÷ 131072     		x = 0.388923645019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81727 ÷ 217
    81727 ÷ 131072     		y = 0.623527526855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.388923645019531 × 2 - 1) × π
    -0.222152709960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.69791332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623527526855469 × 2 - 1) × π
    -0.247055053710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.776146341748329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69791332} λ = -0.69791332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.776146341748329))-π/2
    2×atan(0.460175959610841)-π/2
    2×0.431283960143788-π/2
    0.862567920287576-1.57079632675     		φ = -0.70822841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69791332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.987488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70822841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.578499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50977 KachelY 81727 -0.69791332 -0.70822841 -39.987488 -40.578499
    Oben rechts KachelX + 1 50978 KachelY 81727 -0.69786538 -0.70822841 -39.984741 -40.578499
    Unten links KachelX 50977 KachelY + 1 81728 -0.69791332 -0.70826481 -39.987488 -40.580584
    Unten rechts KachelX + 1 50978 KachelY + 1 81728 -0.69786538 -0.70826481 -39.984741 -40.580584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70822841--0.70826481) × R
    3.63999999999365e-05 × 6371000     		dl = 231.904399999595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70822841--0.70826481) × R
    3.63999999999365e-05 × 6371000     		dr = 231.904399999595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69791332--0.69786538) × cos(-0.70822841) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.759515467505993 × 6371000     		do = 231.975573704312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69791332--0.69786538) × cos(-0.70826481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.759491789194407 × 6371000     		du = 231.968341738474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70822841)-sin(-0.70826481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759515467505993-0.759491789194407)×R²
    abs(-0.69786538--0.69791332)×2.36783115858952e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36783115858952e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36783115858952e-05×40589641000000     		ar = 53795.3176780241m²