Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 50977 / 52513
↖ ↑ ↗
← N 33.648922°
W 39.987488°		 ← 254.25 m → N 33.648922°
W 39.984741°		 →
↑
254.27 m
↓
↑
254.27 m
↓
N 33.646635°
W 39.987488°		 ← 254.26 m →
64 648 m²		 N 33.646635°
W 39.984741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388927459716797 y=0.400646209716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388927459716797 × 217)
    floor (0.388927459716797 × 131072)
    floor (50977.5)     		tx = 50977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400646209716797 × 217)
    floor (0.400646209716797 × 131072)
    floor (52513.5)     		ty = 52513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50977 / 52513 ti = "17/50977/52513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50977/52513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50977 ÷ 217
    50977 ÷ 131072     		x = 0.388923645019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52513 ÷ 217
    52513 ÷ 131072     		y = 0.400642395019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.388923645019531 × 2 - 1) × π
    -0.222152709960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.69791332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.400642395019531 × 2 - 1) × π
    0.198715209960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.624282243751991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69791332} λ = -0.69791332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.624282243751991))-π/2
    2×atan(1.86690549334424)-π/2
    2×1.07904040220452-π/2
    2.15808080440904-1.57079632675     		φ = 0.58728448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69791332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.987488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58728448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.648922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50977 KachelY 52513 -0.69791332 0.58728448 -39.987488 33.648922
    Oben rechts KachelX + 1 50978 KachelY 52513 -0.69786538 0.58728448 -39.984741 33.648922
    Unten links KachelX 50977 KachelY + 1 52514 -0.69791332 0.58724457 -39.987488 33.646635
    Unten rechts KachelX + 1 50978 KachelY + 1 52514 -0.69786538 0.58724457 -39.984741 33.646635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58728448-0.58724457) × R
    3.99100000000319e-05 × 6371000     		dl = 254.266610000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58728448-0.58724457) × R
    3.99100000000319e-05 × 6371000     		dr = 254.266610000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69791332--0.69786538) × cos(0.58728448) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.832448423031602 × 6371000     		do = 254.251175616093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69791332--0.69786538) × cos(0.58724457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.832470536600936 × 6371000     		du = 254.257929669371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58728448)-sin(0.58724457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832448423031602-0.832470536600936)×R²
    abs(-0.69786538--0.69791332)×2.21135693339036e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21135693339036e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21135693339036e-05×40589641000000     		ar = 64648.4431862687m²