Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50977 / 52511
↖ ↑ ↗
← N 33.653495°
W 39.987488°		 ← 254.24 m → N 33.653495°
W 39.984741°		 →
↑
254.27 m
↓
↑
254.27 m
↓
N 33.651208°
W 39.987488°		 ← 254.24 m →
64 645 m²		 N 33.651208°
W 39.984741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388927459716797 y=0.400630950927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388927459716797 × 217)
    floor (0.388927459716797 × 131072)
    floor (50977.5)     		tx = 50977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400630950927734 × 217)
    floor (0.400630950927734 × 131072)
    floor (52511.5)     		ty = 52511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50977 / 52511 ti = "17/50977/52511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50977/52511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50977 ÷ 217
    50977 ÷ 131072     		x = 0.388923645019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52511 ÷ 217
    52511 ÷ 131072     		y = 0.400627136230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.388923645019531 × 2 - 1) × π
    -0.222152709960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.69791332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.400627136230469 × 2 - 1) × π
    0.198745727539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.624378117551231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69791332} λ = -0.69791332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.624378117551231))-π/2
    2×atan(1.86708448924708)-π/2
    2×1.0790803061411-π/2
    2.15816061228219-1.57079632675     		φ = 0.58736429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69791332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.987488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58736429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.653495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50977 KachelY 52511 -0.69791332 0.58736429 -39.987488 33.653495
    Oben rechts KachelX + 1 50978 KachelY 52511 -0.69786538 0.58736429 -39.984741 33.653495
    Unten links KachelX 50977 KachelY + 1 52512 -0.69791332 0.58732438 -39.987488 33.651208
    Unten rechts KachelX + 1 50978 KachelY + 1 52512 -0.69786538 0.58732438 -39.984741 33.651208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58736429-0.58732438) × R
    3.99100000000319e-05 × 6371000     		dl = 254.266610000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58736429-0.58732438) × R
    3.99100000000319e-05 × 6371000     		dr = 254.266610000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69791332--0.69786538) × cos(0.58736429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.832404197456867 × 6371000     		do = 254.237667987203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69791332--0.69786538) × cos(0.58732438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.832426313677695 × 6371000     		du = 254.244422850315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58736429)-sin(0.58732438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832404197456867-0.832426313677695)×R²
    abs(-0.69786538--0.69791332)×2.21162208275949e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21162208275949e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21162208275949e-05×40589641000000     		ar = 64645.0087501332m²