Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50975 / 48167
↖ ↑ ↗
← S 64.261298°
E100.014038°		 ← 265.27 m → S 64.261298°
E100.019531°		 →
↑
265.22 m
↓
↑
265.22 m
↓
S 64.263684°
E100.014038°		 ← 265.25 m →
70 354 m²		 S 64.263684°
E100.019531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777824401855469 y=0.734977722167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777824401855469 × 216)
    floor (0.777824401855469 × 65536)
    floor (50975.5)     		tx = 50975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734977722167969 × 216)
    floor (0.734977722167969 × 65536)
    floor (48167.5)     		ty = 48167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50975 / 48167 ti = "16/50975/48167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50975/48167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50975 ÷ 216
    50975 ÷ 65536     		x = 0.777816772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48167 ÷ 216
    48167 ÷ 65536     		y = 0.734970092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777816772460938 × 2 - 1) × π
    0.555633544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74557426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734970092773438 × 2 - 1) × π
    -0.469940185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47636063449849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74557426} λ = 1.74557426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47636063449849))-π/2
    2×atan(0.228467654492699)-π/2
    2×0.224612544588639-π/2
    0.449225089177278-1.57079632675     		φ = -1.12157124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74557426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.014038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12157124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.261298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50975 KachelY 48167 1.74557426 -1.12157124 100.014038 -64.261298
    Oben rechts KachelX + 1 50976 KachelY 48167 1.74567014 -1.12157124 100.019531 -64.261298
    Unten links KachelX 50975 KachelY + 1 48168 1.74557426 -1.12161287 100.014038 -64.263684
    Unten rechts KachelX + 1 50976 KachelY + 1 48168 1.74567014 -1.12161287 100.019531 -64.263684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12157124--1.12161287) × R
    4.16300000001257e-05 × 6371000     		dl = 265.224730000801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12157124--1.12161287) × R
    4.16300000001257e-05 × 6371000     		dr = 265.224730000801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74557426-1.74567014) × cos(-1.12157124) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.43426763523463 × 6371000     		do = 265.273027699614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74557426-1.74567014) × cos(-1.12161287) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.434230135224891 × 6371000     		du = 265.250120763165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12157124)-sin(-1.12161287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43426763523463-0.434230135224891)×R²
    abs(1.74567014-1.74557426)×3.75000097393441e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.75000097393441e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.75000097393441e-05×40589641000000     		ar = 70353.9294155811m²