Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 50970 / 81717
↖ ↑ ↗
← S 40.557635°
W 40.006714°		 ← 232.05 m → S 40.557635°
W 40.003967°		 →
↑
232.03 m
↓
↑
232.03 m
↓
S 40.559721°
W 40.006714°		 ← 232.04 m →
53 842 m²		 S 40.559721°
W 40.003967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388874053955078 y=0.623455047607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388874053955078 × 217)
    floor (0.388874053955078 × 131072)
    floor (50970.5)     		tx = 50970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623455047607422 × 217)
    floor (0.623455047607422 × 131072)
    floor (81717.5)     		ty = 81717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50970 / 81717 ti = "17/50970/81717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50970/81717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50970 ÷ 217
    50970 ÷ 131072     		x = 0.388870239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81717 ÷ 217
    81717 ÷ 131072     		y = 0.623451232910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.388870239257812 × 2 - 1) × π
    -0.222259521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.69824888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623451232910156 × 2 - 1) × π
    -0.246902465820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.775666972752129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69824888} λ = -0.69824888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.775666972752129))-π/2
    2×atan(0.460396606580108)-π/2
    2×0.43146603260978-π/2
    0.862932065219559-1.57079632675     		φ = -0.70786426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69824888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.006714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70786426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.557635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50970 KachelY 81717 -0.69824888 -0.70786426 -40.006714 -40.557635
    Oben rechts KachelX + 1 50971 KachelY 81717 -0.69820094 -0.70786426 -40.003967 -40.557635
    Unten links KachelX 50970 KachelY + 1 81718 -0.69824888 -0.70790068 -40.006714 -40.559721
    Unten rechts KachelX + 1 50971 KachelY + 1 81718 -0.69820094 -0.70790068 -40.003967 -40.559721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70786426--0.70790068) × R
    3.6419999999926e-05 × 6371000     		dl = 232.031819999528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70786426--0.70790068) × R
    3.6419999999926e-05 × 6371000     		dr = 232.031819999528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69824888--0.69820094) × cos(-0.70786426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.759752292800559 × 6371000     		do = 232.047906245155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69824888--0.69820094) × cos(-0.70790068) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.759728611553004 × 6371000     		du = 232.040673382596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70786426)-sin(-0.70790068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759752292800559-0.759728611553004)×R²
    abs(-0.69820094--0.69824888)×2.36812475556958e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36812475556958e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36812475556958e-05×40589641000000     		ar = 53841.658892017m²