Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50970 / 49442
↖ ↑ ↗
← S 67.140098°
E 99.986572°		 ← 237.30 m → S 67.140098°
E 99.992066°		 →
↑
237.26 m
↓
↑
237.26 m
↓
S 67.142232°
E 99.986572°		 ← 237.28 m →
56 299 m²		 S 67.142232°
E 99.992066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777748107910156 y=0.754432678222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777748107910156 × 216)
    floor (0.777748107910156 × 65536)
    floor (50970.5)     		tx = 50970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754432678222656 × 216)
    floor (0.754432678222656 × 65536)
    floor (49442.5)     		ty = 49442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50970 / 49442 ti = "16/50970/49442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50970/49442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50970 ÷ 216
    50970 ÷ 65536     		x = 0.777740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49442 ÷ 216
    49442 ÷ 65536     		y = 0.754425048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777740478515625 × 2 - 1) × π
    0.55548095703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74509489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754425048828125 × 2 - 1) × π
    -0.50885009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59859972852963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74509489} λ = 1.74509489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59859972852963))-π/2
    2×atan(0.202179425956518)-π/2
    2×0.199490280725879-π/2
    0.398980561451758-1.57079632675     		φ = -1.17181577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74509489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.986572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17181577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.140098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50970 KachelY 49442 1.74509489 -1.17181577 99.986572 -67.140098
    Oben rechts KachelX + 1 50971 KachelY 49442 1.74519077 -1.17181577 99.992066 -67.140098
    Unten links KachelX 50970 KachelY + 1 49443 1.74509489 -1.17185301 99.986572 -67.142232
    Unten rechts KachelX + 1 50971 KachelY + 1 49443 1.74519077 -1.17185301 99.992066 -67.142232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17181577--1.17185301) × R
    3.72399999999384e-05 × 6371000     		dl = 237.256039999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17181577--1.17185301) × R
    3.72399999999384e-05 × 6371000     		dr = 237.256039999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74509489-1.74519077) × cos(-1.17181577) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.388479170745166 × 6371000     		do = 237.303076398702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74509489-1.74519077) × cos(-1.17185301) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.388444855398305 × 6371000     		du = 237.282114818285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17181577)-sin(-1.17185301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388479170745166-0.388444855398305)×R²
    abs(1.74519077-1.74509489)×3.43153468607138e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.43153468607138e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.43153468607138e-05×40589641000000     		ar = 56299.1015616124m²