Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5097 / 7197
↖ ↑ ↗
← S 79.408165°
E 43.989258°		 ← 898.19 m → S 79.408165°
E 44.033203°		 →
↑
897.80 m
↓
↑
897.80 m
↓
S 79.416240°
E 43.989258°		 ← 897.52 m →
806 095 m²		 S 79.416240°
E 44.033203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62225341796875 y=0.87860107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62225341796875 × 213)
    floor (0.62225341796875 × 8192)
    floor (5097.5)     		tx = 5097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87860107421875 × 213)
    floor (0.87860107421875 × 8192)
    floor (7197.5)     		ty = 7197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5097 / 7197 ti = "13/5097/7197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5097/7197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5097 ÷ 213
    5097 ÷ 8192     		x = 0.6221923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7197 ÷ 213
    7197 ÷ 8192     		y = 0.8785400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6221923828125 × 2 - 1) × π
    0.244384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76775738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8785400390625 × 2 - 1) × π
    -0.757080078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37843721154871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76775738} λ = 0.76775738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37843721154871))-π/2
    2×atan(0.0926953275614308)-π/2
    2×0.0924311954397387-π/2
    0.184862390879477-1.57079632675     		φ = -1.38593394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76775738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.989258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38593394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.408165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5097 KachelY 7197 0.76775738 -1.38593394 43.989258 -79.408165
    Oben rechts KachelX + 1 5098 KachelY 7197 0.76852437 -1.38593394 44.033203 -79.408165
    Unten links KachelX 5097 KachelY + 1 7198 0.76775738 -1.38607486 43.989258 -79.416240
    Unten rechts KachelX + 1 5098 KachelY + 1 7198 0.76852437 -1.38607486 44.033203 -79.416240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38593394--1.38607486) × R
    0.000140919999999989 × 6371000     		dl = 897.801319999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38593394--1.38607486) × R
    0.000140919999999989 × 6371000     		dr = 897.801319999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76775738-0.76852437) × cos(-1.38593394) × R
    0.000766989999999912 × 0.183811266778873 × 6371000     		do = 898.192521741258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76775738-0.76852437) × cos(-1.38607486) × R
    0.000766989999999912 × 0.183672746011926 × 6371000     		du = 897.515640943049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38593394)-sin(-1.38607486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183811266778873-0.183672746011926)×R²
    abs(0.76852437-0.76775738)×0.000138520766946343×R²
    0.000766989999999912×0.000138520766946343×6371000²
    0.000766989999999912×0.000138520766946343×40589641000000     		ar = 806094.580728029m²