Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50968 / 49439
↖ ↑ ↗
← S 67.133695°
E 99.975586°		 ← 237.34 m → S 67.133695°
E 99.981079°		 →
↑
237.32 m
↓
↑
237.32 m
↓
S 67.135829°
E 99.975586°		 ← 237.32 m →
56 323 m²		 S 67.135829°
E 99.981079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777717590332031 y=0.754386901855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777717590332031 × 216)
    floor (0.777717590332031 × 65536)
    floor (50968.5)     		tx = 50968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754386901855469 × 216)
    floor (0.754386901855469 × 65536)
    floor (49439.5)     		ty = 49439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50968 / 49439 ti = "16/50968/49439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50968/49439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50968 ÷ 216
    50968 ÷ 65536     		x = 0.7777099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49439 ÷ 216
    49439 ÷ 65536     		y = 0.754379272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7777099609375 × 2 - 1) × π
    0.555419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74490315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754379272460938 × 2 - 1) × π
    -0.508758544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59831210713191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74490315} λ = 1.74490315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59831210713191))-π/2
    2×atan(0.202237585449158)-π/2
    2×0.199546155591373-π/2
    0.399092311182746-1.57079632675     		φ = -1.17170402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74490315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.975586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17170402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.133695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50968 KachelY 49439 1.74490315 -1.17170402 99.975586 -67.133695
    Oben rechts KachelX + 1 50969 KachelY 49439 1.74499902 -1.17170402 99.981079 -67.133695
    Unten links KachelX 50968 KachelY + 1 49440 1.74490315 -1.17174127 99.975586 -67.135829
    Unten rechts KachelX + 1 50969 KachelY + 1 49440 1.74499902 -1.17174127 99.981079 -67.135829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17170402--1.17174127) × R
    3.72500000000997e-05 × 6371000     		dl = 237.319750000635m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17170402--1.17174127) × R
    3.72500000000997e-05 × 6371000     		dr = 237.319750000635m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74490315-1.74499902) × cos(-1.17170402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.388582141195482 × 6371000     		do = 237.341219482609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74490315-1.74499902) × cos(-1.17174127) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.388547818251162 × 6371000     		du = 237.320255447987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17170402)-sin(-1.17174127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388582141195482-0.388547818251162)×R²
    abs(1.74499902-1.74490315)×3.43229443202642e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.43229443202642e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.43229443202642e-05×40589641000000     		ar = 56323.2712895389m²