Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50967 / 49437
↖ ↑ ↗
← S 67.129426°
E 99.970093°		 ← 237.41 m → S 67.129426°
E 99.975586°		 →
↑
237.38 m
↓
↑
237.38 m
↓
S 67.131560°
E 99.970093°		 ← 237.39 m →
56 354 m²		 S 67.131560°
E 99.975586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777702331542969 y=0.754356384277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777702331542969 × 216)
    floor (0.777702331542969 × 65536)
    floor (50967.5)     		tx = 50967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754356384277344 × 216)
    floor (0.754356384277344 × 65536)
    floor (49437.5)     		ty = 49437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50967 / 49437 ti = "16/50967/49437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50967/49437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50967 ÷ 216
    50967 ÷ 65536     		x = 0.777694702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49437 ÷ 216
    49437 ÷ 65536     		y = 0.754348754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777694702148438 × 2 - 1) × π
    0.555389404296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74480727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754348754882812 × 2 - 1) × π
    -0.508697509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59812035953343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74480727} λ = 1.74480727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59812035953343))-π/2
    2×atan(0.202276367738577)-π/2
    2×0.199583413729187-π/2
    0.399166827458373-1.57079632675     		φ = -1.17162950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74480727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.970093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17162950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.129426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50967 KachelY 49437 1.74480727 -1.17162950 99.970093 -67.129426
    Oben rechts KachelX + 1 50968 KachelY 49437 1.74490315 -1.17162950 99.975586 -67.129426
    Unten links KachelX 50967 KachelY + 1 49438 1.74480727 -1.17166676 99.970093 -67.131560
    Unten rechts KachelX + 1 50968 KachelY + 1 49438 1.74490315 -1.17166676 99.975586 -67.131560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17162950--1.17166676) × R
    3.72599999998169e-05 × 6371000     		dl = 237.383459998833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17162950--1.17166676) × R
    3.72599999998169e-05 × 6371000     		dr = 237.383459998833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74480727-1.74490315) × cos(-1.17162950) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.388650803894232 × 6371000     		do = 237.407918762375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74480727-1.74490315) × cos(-1.17166676) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.388616472814617 × 6371000     		du = 237.386947571582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17162950)-sin(-1.17166676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388650803894232-0.388616472814617)×R²
    abs(1.74490315-1.74480727)×3.43310796149243e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.43310796149243e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.43310796149243e-05×40589641000000     		ar = 56354.2240865672m²