Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50966 / 49438
↖ ↑ ↗
← S 67.131560°
E 99.964600°		 ← 237.36 m → S 67.131560°
E 99.970093°		 →
↑
237.38 m
↓
↑
237.38 m
↓
S 67.133695°
E 99.964600°		 ← 237.34 m →
56 343 m²		 S 67.133695°
E 99.970093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777687072753906 y=0.754371643066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777687072753906 × 216)
    floor (0.777687072753906 × 65536)
    floor (50966.5)     		tx = 50966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754371643066406 × 216)
    floor (0.754371643066406 × 65536)
    floor (49438.5)     		ty = 49438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50966 / 49438 ti = "16/50966/49438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50966/49438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50966 ÷ 216
    50966 ÷ 65536     		x = 0.777679443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49438 ÷ 216
    49438 ÷ 65536     		y = 0.754364013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777679443359375 × 2 - 1) × π
    0.55535888671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74471140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.50872802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59821623333267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74471140} λ = 1.74471140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59821623333267))-π/2
    2×atan(0.202256975664316)-π/2
    2×0.199564783837452-π/2
    0.399129567674903-1.57079632675     		φ = -1.17166676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74471140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.964600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17166676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.131560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50966 KachelY 49438 1.74471140 -1.17166676 99.964600 -67.131560
    Oben rechts KachelX + 1 50967 KachelY 49438 1.74480727 -1.17166676 99.970093 -67.131560
    Unten links KachelX 50966 KachelY + 1 49439 1.74471140 -1.17170402 99.964600 -67.133695
    Unten rechts KachelX + 1 50967 KachelY + 1 49439 1.74480727 -1.17170402 99.970093 -67.133695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17166676--1.17170402) × R
    3.72600000000389e-05 × 6371000     		dl = 237.383460000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17166676--1.17170402) × R
    3.72600000000389e-05 × 6371000     		dr = 237.383460000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74471140-1.74480727) × cos(-1.17166676) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.388616472814617 × 6371000     		do = 237.3621888157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74471140-1.74480727) × cos(-1.17170402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.388582141195482 × 6371000     		du = 237.341219482609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17166676)-sin(-1.17170402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388616472814617-0.388582141195482)×R²
    abs(1.74480727-1.74471140)×3.43316191343535e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.43316191343535e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.43316191343535e-05×40589641000000     		ar = 56343.3687740436m²