Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50965 / 48182
↖ ↑ ↗
← S 64.297058°
E 99.959106°		 ← 264.93 m → S 64.297058°
E 99.964600°		 →
↑
264.91 m
↓
↑
264.91 m
↓
S 64.299440°
E 99.959106°		 ← 264.91 m →
70 178 m²		 S 64.299440°
E 99.964600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777671813964844 y=0.735206604003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777671813964844 × 216)
    floor (0.777671813964844 × 65536)
    floor (50965.5)     		tx = 50965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735206604003906 × 216)
    floor (0.735206604003906 × 65536)
    floor (48182.5)     		ty = 48182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50965 / 48182 ti = "16/50965/48182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50965/48182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50965 ÷ 216
    50965 ÷ 65536     		x = 0.777664184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48182 ÷ 216
    48182 ÷ 65536     		y = 0.735198974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777664184570312 × 2 - 1) × π
    0.555328369140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74461552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735198974609375 × 2 - 1) × π
    -0.47039794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47779874148709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74461552} λ = 1.74461552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47779874148709))-π/2
    2×atan(0.228139329701777)-π/2
    2×0.224300485115042-π/2
    0.448600970230084-1.57079632675     		φ = -1.12219536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74461552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.959106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12219536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.297058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50965 KachelY 48182 1.74461552 -1.12219536 99.959106 -64.297058
    Oben rechts KachelX + 1 50966 KachelY 48182 1.74471140 -1.12219536 99.964600 -64.297058
    Unten links KachelX 50965 KachelY + 1 48183 1.74461552 -1.12223694 99.959106 -64.299440
    Unten rechts KachelX + 1 50966 KachelY + 1 48183 1.74471140 -1.12223694 99.964600 -64.299440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12219536--1.12223694) × R
    4.15799999999855e-05 × 6371000     		dl = 264.906179999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12219536--1.12223694) × R
    4.15799999999855e-05 × 6371000     		dr = 264.906179999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74461552-1.74471140) × cos(-1.12219536) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.433705353448926 × 6371000     		do = 264.929557038026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74461552-1.74471140) × cos(-1.12223694) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.433667887217426 × 6371000     		du = 264.906670735064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12219536)-sin(-1.12223694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433705353448926-0.433667887217426)×R²
    abs(1.74471140-1.74461552)×3.74662314998053e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.74662314998053e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.74662314998053e-05×40589641000000     		ar = 70178.4455725544m²