Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50964 / 48184
↖ ↑ ↗
← S 64.301822°
E 99.953613°		 ← 264.86 m → S 64.301822°
E 99.959106°		 →
↑
264.84 m
↓
↑
264.84 m
↓
S 64.304204°
E 99.953613°		 ← 264.83 m →
70 142 m²		 S 64.304204°
E 99.959106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777656555175781 y=0.735237121582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777656555175781 × 216)
    floor (0.777656555175781 × 65536)
    floor (50964.5)     		tx = 50964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735237121582031 × 216)
    floor (0.735237121582031 × 65536)
    floor (48184.5)     		ty = 48184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50964 / 48184 ti = "16/50964/48184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50964/48184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50964 ÷ 216
    50964 ÷ 65536     		x = 0.77764892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48184 ÷ 216
    48184 ÷ 65536     		y = 0.7352294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77764892578125 × 2 - 1) × π
    0.5552978515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74451965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7352294921875 × 2 - 1) × π
    -0.470458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47799048908557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74451965} λ = 1.74451965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47799048908557))-π/2
    2×atan(0.228095588726935)-π/2
    2×0.224258907726679-π/2
    0.448517815453358-1.57079632675     		φ = -1.12227851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74451965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.953613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12227851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.301822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50964 KachelY 48184 1.74451965 -1.12227851 99.953613 -64.301822
    Oben rechts KachelX + 1 50965 KachelY 48184 1.74461552 -1.12227851 99.959106 -64.301822
    Unten links KachelX 50964 KachelY + 1 48185 1.74451965 -1.12232008 99.953613 -64.304204
    Unten rechts KachelX + 1 50965 KachelY + 1 48185 1.74461552 -1.12232008 99.959106 -64.304204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12227851--1.12232008) × R
    4.15700000000463e-05 × 6371000     		dl = 264.842470000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12227851--1.12232008) × R
    4.15700000000463e-05 × 6371000     		dr = 264.842470000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74451965-1.74461552) × cos(-1.12227851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.433630429247067 × 6371000     		do = 264.856162883953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74451965-1.74461552) × cos(-1.12232008) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.433592970527367 × 6371000     		du = 264.833283556081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12227851)-sin(-1.12232008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433630429247067-0.433592970527367)×R²
    abs(1.74461552-1.74451965)×3.74587197000675e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.74587197000675e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.74587197000675e-05×40589641000000     		ar = 70142.1306741838m²