Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50963 / 49435
↖ ↑ ↗
← S 67.125155°
E 99.948120°		 ← 237.43 m → S 67.125155°
E 99.953613°		 →
↑
237.45 m
↓
↑
237.45 m
↓
S 67.127291°
E 99.948120°		 ← 237.40 m →
56 373 m²		 S 67.127291°
E 99.953613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777641296386719 y=0.754325866699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777641296386719 × 216)
    floor (0.777641296386719 × 65536)
    floor (50963.5)     		tx = 50963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754325866699219 × 216)
    floor (0.754325866699219 × 65536)
    floor (49435.5)     		ty = 49435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50963 / 49435 ti = "16/50963/49435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50963/49435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50963 ÷ 216
    50963 ÷ 65536     		x = 0.777633666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49435 ÷ 216
    49435 ÷ 65536     		y = 0.754318237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777633666992188 × 2 - 1) × π
    0.555267333984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74442378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754318237304688 × 2 - 1) × π
    -0.508636474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59792861193495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74442378} λ = 1.74442378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59792861193495))-π/2
    2×atan(0.202315157465119)-π/2
    2×0.199620678450103-π/2
    0.399241356900206-1.57079632675     		φ = -1.17155497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74442378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.948120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17155497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.125155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50963 KachelY 49435 1.74442378 -1.17155497 99.948120 -67.125155
    Oben rechts KachelX + 1 50964 KachelY 49435 1.74451965 -1.17155497 99.953613 -67.125155
    Unten links KachelX 50963 KachelY + 1 49436 1.74442378 -1.17159224 99.948120 -67.127291
    Unten rechts KachelX + 1 50964 KachelY + 1 49436 1.74451965 -1.17159224 99.953613 -67.127291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17155497--1.17159224) × R
    3.72699999999782e-05 × 6371000     		dl = 237.447169999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17155497--1.17159224) × R
    3.72699999999782e-05 × 6371000     		dr = 237.447169999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74442378-1.74451965) × cos(-1.17155497) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.388719473648275 × 6371000     		do = 237.425100465199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74442378-1.74451965) × cos(-1.17159224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38868513443428 × 6371000     		du = 237.404126493259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17155497)-sin(-1.17159224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388719473648275-0.38868513443428)×R²
    abs(1.74451965-1.74442378)×3.43392139952603e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.43392139952603e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.43392139952603e-05×40589641000000     		ar = 56373.4280937141m²