Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50961 / 48183
↖ ↑ ↗
← S 64.299440°
E 99.937134°		 ← 264.88 m → S 64.299440°
E 99.942627°		 →
↑
264.84 m
↓
↑
264.84 m
↓
S 64.301822°
E 99.937134°		 ← 264.86 m →
70 148 m²		 S 64.301822°
E 99.942627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777610778808594 y=0.735221862792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777610778808594 × 216)
    floor (0.777610778808594 × 65536)
    floor (50961.5)     		tx = 50961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735221862792969 × 216)
    floor (0.735221862792969 × 65536)
    floor (48183.5)     		ty = 48183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50961 / 48183 ti = "16/50961/48183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50961/48183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50961 ÷ 216
    50961 ÷ 65536     		x = 0.777603149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48183 ÷ 216
    48183 ÷ 65536     		y = 0.735214233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777603149414062 × 2 - 1) × π
    0.555206298828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74423203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735214233398438 × 2 - 1) × π
    -0.470428466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47789461528633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74423203} λ = 1.74423203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47789461528633))-π/2
    2×atan(0.228117458165953)-π/2
    2×0.2242796955229-π/2
    0.448559391045801-1.57079632675     		φ = -1.12223694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74423203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.937134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12223694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.299440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50961 KachelY 48183 1.74423203 -1.12223694 99.937134 -64.299440
    Oben rechts KachelX + 1 50962 KachelY 48183 1.74432790 -1.12223694 99.942627 -64.299440
    Unten links KachelX 50961 KachelY + 1 48184 1.74423203 -1.12227851 99.937134 -64.301822
    Unten rechts KachelX + 1 50962 KachelY + 1 48184 1.74432790 -1.12227851 99.942627 -64.301822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12223694--1.12227851) × R
    4.15699999998242e-05 × 6371000     		dl = 264.84246999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12223694--1.12227851) × R
    4.15699999998242e-05 × 6371000     		dr = 264.84246999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74423203-1.74432790) × cos(-1.12223694) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.433667887217426 × 6371000     		do = 264.879041754137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74423203-1.74432790) × cos(-1.12227851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.433630429247067 × 6371000     		du = 264.856162883953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12223694)-sin(-1.12227851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433667887217426-0.433630429247067)×R²
    abs(1.74432790-1.74423203)×3.74579703584232e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.74579703584232e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.74579703584232e-05×40589641000000     		ar = 70148.190030894m²