Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50960 / 49456
↖ ↑ ↗
← S 67.169955°
E 99.931641°		 ← 236.99 m → S 67.169955°
E 99.937134°		 →
↑
237 m
↓
↑
237 m
↓
S 67.172086°
E 99.931641°		 ← 236.96 m →
56 163 m²		 S 67.172086°
E 99.937134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777595520019531 y=0.754646301269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777595520019531 × 216)
    floor (0.777595520019531 × 65536)
    floor (50960.5)     		tx = 50960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754646301269531 × 216)
    floor (0.754646301269531 × 65536)
    floor (49456.5)     		ty = 49456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50960 / 49456 ti = "16/50960/49456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50960/49456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50960 ÷ 216
    50960 ÷ 65536     		x = 0.777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49456 ÷ 216
    49456 ÷ 65536     		y = 0.754638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777587890625 × 2 - 1) × π
    0.55517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74413616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.50927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59994196171899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74413616} λ = 1.74413616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59994196171899))-π/2
    2×atan(0.201908236061546)-π/2
    2×0.19922972707763-π/2
    0.39845945415526-1.57079632675     		φ = -1.17233687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74413616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.931641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17233687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.169955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50960 KachelY 49456 1.74413616 -1.17233687 99.931641 -67.169955
    Oben rechts KachelX + 1 50961 KachelY 49456 1.74423203 -1.17233687 99.937134 -67.169955
    Unten links KachelX 50960 KachelY + 1 49457 1.74413616 -1.17237407 99.931641 -67.172086
    Unten rechts KachelX + 1 50961 KachelY + 1 49457 1.74423203 -1.17237407 99.937134 -67.172086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17233687--1.17237407) × R
    3.71999999999595e-05 × 6371000     		dl = 237.001199999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17233687--1.17237407) × R
    3.71999999999595e-05 × 6371000     		dr = 237.001199999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74413616-1.74423203) × cos(-1.17233687) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387998946516108 × 6371000     		do = 236.985011304918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74413616-1.74423203) × cos(-1.17237407) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387964660502475 × 6371000     		du = 236.964069827108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17233687)-sin(-1.17237407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387998946516108-0.387964660502475)×R²
    abs(1.74423203-1.74413616)×3.42860136331447e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.42860136331447e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.42860136331447e-05×40589641000000     		ar = 56163.2504896867m²