Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50960 / 48176
↖ ↑ ↗
← S 64.282760°
E 99.931641°		 ← 265.04 m → S 64.282760°
E 99.937134°		 →
↑
265.03 m
↓
↑
265.03 m
↓
S 64.285143°
E 99.931641°		 ← 265.02 m →
70 241 m²		 S 64.285143°
E 99.937134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777595520019531 y=0.735115051269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777595520019531 × 216)
    floor (0.777595520019531 × 65536)
    floor (50960.5)     		tx = 50960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735115051269531 × 216)
    floor (0.735115051269531 × 65536)
    floor (48176.5)     		ty = 48176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50960 / 48176 ti = "16/50960/48176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50960/48176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50960 ÷ 216
    50960 ÷ 65536     		x = 0.777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48176 ÷ 216
    48176 ÷ 65536     		y = 0.735107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777587890625 × 2 - 1) × π
    0.55517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74413616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.47021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47722349869165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74413616} λ = 1.74413616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47722349869165))-π/2
    2×atan(0.228270602960923)-π/2
    2×0.224425260388889-π/2
    0.448850520777779-1.57079632675     		φ = -1.12194581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74413616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.931641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12194581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.282760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50960 KachelY 48176 1.74413616 -1.12194581 99.931641 -64.282760
    Oben rechts KachelX + 1 50961 KachelY 48176 1.74423203 -1.12194581 99.937134 -64.282760
    Unten links KachelX 50960 KachelY + 1 48177 1.74413616 -1.12198741 99.931641 -64.285143
    Unten rechts KachelX + 1 50961 KachelY + 1 48177 1.74423203 -1.12198741 99.937134 -64.285143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12194581--1.12198741) × R
    4.1600000000086e-05 × 6371000     		dl = 265.033600000548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12194581--1.12198741) × R
    4.1600000000086e-05 × 6371000     		dr = 265.033600000548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74413616-1.74423203) × cos(-1.12194581) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.433930198155449 × 6371000     		do = 265.039258067019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74413616-1.74423203) × cos(-1.12198741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.433892718405883 × 6371000     		du = 265.016365894361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12194581)-sin(-1.12198741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433930198155449-0.433892718405883)×R²
    abs(1.74423203-1.74413616)×3.74797495664159e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.74797495664159e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.74797495664159e-05×40589641000000     		ar = 70241.2751198177m²