Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50955 / 49432
↖ ↑ ↗
← S 67.118748°
E 99.904175°		 ← 237.49 m → S 67.118748°
E 99.909668°		 →
↑
237.51 m
↓
↑
237.51 m
↓
S 67.120884°
E 99.904175°		 ← 237.47 m →
56 403 m²		 S 67.120884°
E 99.909668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777519226074219 y=0.754280090332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777519226074219 × 216)
    floor (0.777519226074219 × 65536)
    floor (50955.5)     		tx = 50955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754280090332031 × 216)
    floor (0.754280090332031 × 65536)
    floor (49432.5)     		ty = 49432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50955 / 49432 ti = "16/50955/49432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50955/49432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50955 ÷ 216
    50955 ÷ 65536     		x = 0.777511596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49432 ÷ 216
    49432 ÷ 65536     		y = 0.7542724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777511596679688 × 2 - 1) × π
    0.555023193359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74365679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7542724609375 × 2 - 1) × π
    -0.508544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59764099053723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74365679} λ = 1.74365679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59764099053723))-π/2
    2×atan(0.202373356002661)-π/2
    2×0.199676587876887-π/2
    0.399353175753774-1.57079632675     		φ = -1.17144315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74365679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.904175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17144315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.118748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50955 KachelY 49432 1.74365679 -1.17144315 99.904175 -67.118748
    Oben rechts KachelX + 1 50956 KachelY 49432 1.74375266 -1.17144315 99.909668 -67.118748
    Unten links KachelX 50955 KachelY + 1 49433 1.74365679 -1.17148043 99.904175 -67.120884
    Unten rechts KachelX + 1 50956 KachelY + 1 49433 1.74375266 -1.17148043 99.909668 -67.120884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17144315--1.17148043) × R
    3.72799999999174e-05 × 6371000     		dl = 237.510879999474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17144315--1.17148043) × R
    3.72799999999174e-05 × 6371000     		dr = 237.510879999474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74365679-1.74375266) × cos(-1.17144315) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.388822497263486 × 6371000     		do = 237.48802602939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74365679-1.74375266) × cos(-1.17148043) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.388788150456363 × 6371000     		du = 237.467047419661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17144315)-sin(-1.17148043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388822497263486-0.388788150456363)×R²
    abs(1.74375266-1.74365679)×3.4346807123331e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.4346807123331e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.4346807123331e-05×40589641000000     		ar = 56403.4987341491m²