Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50954 / 81706
↖ ↑ ↗
← S 40.534677°
W 40.050659°		 ← 232.13 m → S 40.534677°
W 40.047912°		 →
↑
232.10 m
↓
↑
232.10 m
↓
S 40.536764°
W 40.050659°		 ← 232.12 m →
53 875 m²		 S 40.536764°
W 40.047912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388751983642578 y=0.623371124267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388751983642578 × 217)
    floor (0.388751983642578 × 131072)
    floor (50954.5)     		tx = 50954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623371124267578 × 217)
    floor (0.623371124267578 × 131072)
    floor (81706.5)     		ty = 81706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50954 / 81706 ti = "17/50954/81706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50954/81706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50954 ÷ 217
    50954 ÷ 131072     		x = 0.388748168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81706 ÷ 217
    81706 ÷ 131072     		y = 0.623367309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.388748168945312 × 2 - 1) × π
    -0.222503662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.69901587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623367309570312 × 2 - 1) × π
    -0.246734619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.775139666856308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69901587} λ = -0.69901587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.775139666856308))-π/2
    2×atan(0.460639440443411)-π/2
    2×0.43166637787915-π/2
    0.863332755758301-1.57079632675     		φ = -0.70746357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69901587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.050659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70746357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.534677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50954 KachelY 81706 -0.69901587 -0.70746357 -40.050659 -40.534677
    Oben rechts KachelX + 1 50955 KachelY 81706 -0.69896793 -0.70746357 -40.047912 -40.534677
    Unten links KachelX 50954 KachelY + 1 81707 -0.69901587 -0.70750000 -40.050659 -40.536764
    Unten rechts KachelX + 1 50955 KachelY + 1 81707 -0.69896793 -0.70750000 -40.047912 -40.536764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70746357--0.70750000) × R
    3.64299999999762e-05 × 6371000     		dl = 232.095529999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70746357--0.70750000) × R
    3.64299999999762e-05 × 6371000     		dr = 232.095529999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69901587--0.69896793) × cos(-0.70746357) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.760012765498973 × 6371000     		do = 232.127461311818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69901587--0.69896793) × cos(-0.70750000) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.759989088840951 × 6371000     		du = 232.120229851021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70746357)-sin(-0.70750000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760012765498973-0.759989088840951)×R²
    abs(-0.69896793--0.69901587)×2.36766580221648e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36766580221648e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36766580221648e-05×40589641000000     		ar = 53874.9069715727m²