Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5095 / 1227
↖ ↑ ↗
← N 77.360689°
E 43.901367°		 ← 1 069.23 m → N 77.360689°
E 43.945312°		 →
↑
1 069.63 m
↓
↑
1 069.63 m
↓
N 77.351069°
E 43.901367°		 ← 1 070.03 m →
1 144 103 m²		 N 77.351069°
E 43.945312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62200927734375 y=0.14984130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62200927734375 × 213)
    floor (0.62200927734375 × 8192)
    floor (5095.5)     		tx = 5095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14984130859375 × 213)
    floor (0.14984130859375 × 8192)
    floor (1227.5)     		ty = 1227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5095 / 1227 ti = "13/5095/1227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5095/1227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5095 ÷ 213
    5095 ÷ 8192     		x = 0.6219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1227 ÷ 213
    1227 ÷ 8192     		y = 0.1497802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6219482421875 × 2 - 1) × π
    0.243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76622340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1497802734375 × 2 - 1) × π
    0.700439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20049544015906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76622340} λ = 0.76622340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20049544015906))-π/2
    2×atan(9.02948596138492)-π/2
    2×1.46049753054285-π/2
    2.9209950610857-1.57079632675     		φ = 1.35019873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76622340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.901367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35019873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.360689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5095 KachelY 1227 0.76622340 1.35019873 43.901367 77.360689
    Oben rechts KachelX + 1 5096 KachelY 1227 0.76699039 1.35019873 43.945312 77.360689
    Unten links KachelX 5095 KachelY + 1 1228 0.76622340 1.35003084 43.901367 77.351069
    Unten rechts KachelX + 1 5096 KachelY + 1 1228 0.76699039 1.35003084 43.945312 77.351069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35019873-1.35003084) × R
    0.000167889999999948 × 6371000     		dl = 1069.62718999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35019873-1.35003084) × R
    0.000167889999999948 × 6371000     		dr = 1069.62718999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76622340-0.76699039) × cos(1.35019873) × R
    0.000766990000000023 × 0.218812777266734 × 6371000     		do = 1069.22716788019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76622340-0.76699039) × cos(1.35003084) × R
    0.000766990000000023 × 0.218976595680542 × 6371000     		du = 1070.02766546004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35019873)-sin(1.35003084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218812777266734-0.218976595680542)×R²
    abs(0.76699039-0.76622340)×0.000163818413807304×R²
    0.000766990000000023×0.000163818413807304×6371000²
    0.000766990000000023×0.000163818413807304×40589641000000     		ar = 1144102.57072795m²