Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50949 / 49411
↖ ↑ ↗
← S 67.073854°
E 99.871216°		 ← 237.95 m → S 67.073854°
E 99.876709°		 →
↑
237.89 m
↓
↑
237.89 m
↓
S 67.075993°
E 99.871216°		 ← 237.93 m →
56 605 m²		 S 67.075993°
E 99.876709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777427673339844 y=0.753959655761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777427673339844 × 216)
    floor (0.777427673339844 × 65536)
    floor (50949.5)     		tx = 50949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753959655761719 × 216)
    floor (0.753959655761719 × 65536)
    floor (49411.5)     		ty = 49411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50949 / 49411 ti = "16/50949/49411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50949/49411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50949 ÷ 216
    50949 ÷ 65536     		x = 0.777420043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49411 ÷ 216
    49411 ÷ 65536     		y = 0.753952026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777420043945312 × 2 - 1) × π
    0.554840087890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74308154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753952026367188 × 2 - 1) × π
    -0.507904052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59562764075319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74308154} λ = 1.74308154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59562764075319))-π/2
    2×atan(0.2027812147987)-π/2
    2×0.200068368931177-π/2
    0.400136737862354-1.57079632675     		φ = -1.17065959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74308154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.871216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17065959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.073854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50949 KachelY 49411 1.74308154 -1.17065959 99.871216 -67.073854
    Oben rechts KachelX + 1 50950 KachelY 49411 1.74317742 -1.17065959 99.876709 -67.073854
    Unten links KachelX 50949 KachelY + 1 49412 1.74308154 -1.17069693 99.871216 -67.075993
    Unten rechts KachelX + 1 50950 KachelY + 1 49412 1.74317742 -1.17069693 99.876709 -67.075993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17065959--1.17069693) × R
    3.73399999999968e-05 × 6371000     		dl = 237.89313999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17065959--1.17069693) × R
    3.73399999999968e-05 × 6371000     		dr = 237.89313999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74308154-1.74317742) × cos(-1.17065959) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.389544281596014 × 6371000     		do = 237.953700938857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74308154-1.74317742) × cos(-1.17069693) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.389509890895535 × 6371000     		du = 237.932693328571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17065959)-sin(-1.17069693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389544281596014-0.389509890895535)×R²
    abs(1.74317742-1.74308154)×3.43907004791144e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.43907004791144e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.43907004791144e-05×40589641000000     		ar = 56605.0543142206m²