Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50947 / 48912
↖ ↑ ↗
← S 65.982270°
E 99.860230°		 ← 248.60 m → S 65.982270°
E 99.865723°		 →
↑
248.60 m
↓
↑
248.60 m
↓
S 65.984506°
E 99.860230°		 ← 248.58 m →
61 799 m²		 S 65.984506°
E 99.865723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777397155761719 y=0.746345520019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777397155761719 × 216)
    floor (0.777397155761719 × 65536)
    floor (50947.5)     		tx = 50947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746345520019531 × 216)
    floor (0.746345520019531 × 65536)
    floor (48912.5)     		ty = 48912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50947 / 48912 ti = "16/50947/48912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50947/48912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50947 ÷ 216
    50947 ÷ 65536     		x = 0.777389526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48912 ÷ 216
    48912 ÷ 65536     		y = 0.746337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777389526367188 × 2 - 1) × π
    0.554779052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74288980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746337890625 × 2 - 1) × π
    -0.49267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54778661493237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74288980} λ = 1.74288980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54778661493237))-π/2
    2×atan(0.212718280615652)-π/2
    2×0.209594233426382-π/2
    0.419188466852763-1.57079632675     		φ = -1.15160786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74288980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.860230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15160786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.982270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50947 KachelY 48912 1.74288980 -1.15160786 99.860230 -65.982270
    Oben rechts KachelX + 1 50948 KachelY 48912 1.74298567 -1.15160786 99.865723 -65.982270
    Unten links KachelX 50947 KachelY + 1 48913 1.74288980 -1.15164688 99.860230 -65.984506
    Unten rechts KachelX + 1 50948 KachelY + 1 48913 1.74298567 -1.15164688 99.865723 -65.984506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15160786--1.15164688) × R
    3.90200000000007e-05 × 6371000     		dl = 248.596420000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15160786--1.15164688) × R
    3.90200000000007e-05 × 6371000     		dr = 248.596420000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74288980-1.74298567) × cos(-1.15160786) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.407019316873945 × 6371000     		do = 248.602420900355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74288980-1.74298567) × cos(-1.15164688) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.406983674933228 × 6371000     		du = 248.580651238866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15160786)-sin(-1.15164688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407019316873945-0.406983674933228)×R²
    abs(1.74298567-1.74288980)×3.56419407169239e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.56419407169239e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.56419407169239e-05×40589641000000     		ar = 61798.9659169476m²