Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 50944 / 81730
↖ ↑ ↗
← S 40.584757°
W 40.078125°		 ← 231.95 m → S 40.584757°
W 40.075378°		 →
↑
231.90 m
↓
↑
231.90 m
↓
S 40.586842°
W 40.078125°		 ← 231.95 m →
53 790 m²		 S 40.586842°
W 40.075378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388675689697266 y=0.623554229736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388675689697266 × 217)
    floor (0.388675689697266 × 131072)
    floor (50944.5)     		tx = 50944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623554229736328 × 217)
    floor (0.623554229736328 × 131072)
    floor (81730.5)     		ty = 81730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50944 / 81730 ti = "17/50944/81730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50944/81730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50944 ÷ 217
    50944 ÷ 131072     		x = 0.388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81730 ÷ 217
    81730 ÷ 131072     		y = 0.623550415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.388671875 × 2 - 1) × π
    -0.22265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.69949524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623550415039062 × 2 - 1) × π
    -0.247100830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.776290152447189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69949524} λ = -0.69949524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.776290152447189))-π/2
    2×atan(0.460109786142831)-π/2
    2×0.431229349473025-π/2
    0.862458698946051-1.57079632675     		φ = -0.70833763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69949524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.078125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70833763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.584757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50944 KachelY 81730 -0.69949524 -0.70833763 -40.078125 -40.584757
    Oben rechts KachelX + 1 50945 KachelY 81730 -0.69944730 -0.70833763 -40.075378 -40.584757
    Unten links KachelX 50944 KachelY + 1 81731 -0.69949524 -0.70837403 -40.078125 -40.586842
    Unten rechts KachelX + 1 50945 KachelY + 1 81731 -0.69944730 -0.70837403 -40.075378 -40.586842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70833763--0.70837403) × R
    3.63999999999365e-05 × 6371000     		dl = 231.904399999595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70833763--0.70837403) × R
    3.63999999999365e-05 × 6371000     		dr = 231.904399999595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69949524--0.69944730) × cos(-0.70833763) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.759444416540934 × 6371000     		do = 231.953872910731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69949524--0.69944730) × cos(-0.70837403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.759420735210001 × 6371000     		du = 231.946640022707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70833763)-sin(-0.70837403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759444416540934-0.759420735210001)×R²
    abs(-0.69944730--0.69949524)×2.36813309333339e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36813309333339e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36813309333339e-05×40589641000000     		ar = 53790.2850614128m²