Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50943 / 48923
↖ ↑ ↗
← S 66.006852°
E 99.838257°		 ← 248.36 m → S 66.006852°
E 99.843750°		 →
↑
248.34 m
↓
↑
248.34 m
↓
S 66.009086°
E 99.838257°		 ← 248.34 m →
61 676 m²		 S 66.009086°
E 99.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777336120605469 y=0.746513366699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777336120605469 × 216)
    floor (0.777336120605469 × 65536)
    floor (50943.5)     		tx = 50943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746513366699219 × 216)
    floor (0.746513366699219 × 65536)
    floor (48923.5)     		ty = 48923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50943 / 48923 ti = "16/50943/48923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50943/48923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50943 ÷ 216
    50943 ÷ 65536     		x = 0.777328491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48923 ÷ 216
    48923 ÷ 65536     		y = 0.746505737304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777328491210938 × 2 - 1) × π
    0.554656982421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74250630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746505737304688 × 2 - 1) × π
    -0.493011474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54884122672401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74250630} λ = 1.74250630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54884122672401))-π/2
    2×atan(0.21249406366032)-π/2
    2×0.209379713088074-π/2
    0.418759426176148-1.57079632675     		φ = -1.15203690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74250630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.838257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15203690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.006852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50943 KachelY 48923 1.74250630 -1.15203690 99.838257 -66.006852
    Oben rechts KachelX + 1 50944 KachelY 48923 1.74260217 -1.15203690 99.843750 -66.006852
    Unten links KachelX 50943 KachelY + 1 48924 1.74250630 -1.15207588 99.838257 -66.009086
    Unten rechts KachelX + 1 50944 KachelY + 1 48924 1.74260217 -1.15207588 99.843750 -66.009086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15203690--1.15207588) × R
    3.89800000000218e-05 × 6371000     		dl = 248.341580000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15203690--1.15207588) × R
    3.89800000000218e-05 × 6371000     		dr = 248.341580000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74250630-1.74260217) × cos(-1.15203690) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.406627385900809 × 6371000     		do = 248.363034255279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74250630-1.74260217) × cos(-1.15207588) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.406591773694102 × 6371000     		du = 248.34128275496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15203690)-sin(-1.15207588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406627385900809-0.406591773694102)×R²
    abs(1.74260217-1.74250630)×3.56122067076137e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.56122067076137e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.56122067076137e-05×40589641000000     		ar = 61676.1674474852m²