Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50942 / 49490
↖ ↑ ↗
← S 67.242312°
E 99.832764°		 ← 236.27 m → S 67.242312°
E 99.838257°		 →
↑
236.24 m
↓
↑
236.24 m
↓
S 67.244436°
E 99.832764°		 ← 236.25 m →
55 814 m²		 S 67.244436°
E 99.838257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777320861816406 y=0.755165100097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777320861816406 × 216)
    floor (0.777320861816406 × 65536)
    floor (50942.5)     		tx = 50942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755165100097656 × 216)
    floor (0.755165100097656 × 65536)
    floor (49490.5)     		ty = 49490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50942 / 49490 ti = "16/50942/49490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50942/49490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50942 ÷ 216
    50942 ÷ 65536     		x = 0.777313232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49490 ÷ 216
    49490 ÷ 65536     		y = 0.755157470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777313232421875 × 2 - 1) × π
    0.55462646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74241043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755157470703125 × 2 - 1) × π
    -0.51031494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60320167089316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74241043} λ = 1.74241043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60320167089316))-π/2
    2×atan(0.201251145476059)-π/2
    2×0.198598294382184-π/2
    0.397196588764368-1.57079632675     		φ = -1.17359974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74241043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.832764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17359974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.242312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50942 KachelY 49490 1.74241043 -1.17359974 99.832764 -67.242312
    Oben rechts KachelX + 1 50943 KachelY 49490 1.74250630 -1.17359974 99.838257 -67.242312
    Unten links KachelX 50942 KachelY + 1 49491 1.74241043 -1.17363682 99.832764 -67.244436
    Unten rechts KachelX + 1 50943 KachelY + 1 49491 1.74250630 -1.17363682 99.838257 -67.244436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17359974--1.17363682) × R
    3.70800000000227e-05 × 6371000     		dl = 236.236680000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17359974--1.17363682) × R
    3.70800000000227e-05 × 6371000     		dr = 236.236680000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74241043-1.74250630) × cos(-1.17359974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38683470089472 × 6371000     		do = 236.273904318098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74241043-1.74250630) × cos(-1.17363682) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38680050734114 × 6371000     		du = 236.253019313758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17359974)-sin(-1.17363682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38683470089472-0.38680050734114)×R²
    abs(1.74250630-1.74241043)×3.41935535807525e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.41935535807525e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.41935535807525e-05×40589641000000     		ar = 55814.0958313911m²