Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50939 / 49489
↖ ↑ ↗
← S 67.240187°
E 99.816284°		 ← 236.29 m → S 67.240187°
E 99.821777°		 →
↑
236.30 m
↓
↑
236.30 m
↓
S 67.242312°
E 99.816284°		 ← 236.27 m →
55 834 m²		 S 67.242312°
E 99.821777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777275085449219 y=0.755149841308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777275085449219 × 216)
    floor (0.777275085449219 × 65536)
    floor (50939.5)     		tx = 50939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755149841308594 × 216)
    floor (0.755149841308594 × 65536)
    floor (49489.5)     		ty = 49489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50939 / 49489 ti = "16/50939/49489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50939/49489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50939 ÷ 216
    50939 ÷ 65536     		x = 0.777267456054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49489 ÷ 216
    49489 ÷ 65536     		y = 0.755142211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777267456054688 × 2 - 1) × π
    0.554534912109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74212281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755142211914062 × 2 - 1) × π
    -0.510284423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60310579709392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74212281} λ = 1.74212281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60310579709392))-π/2
    2×atan(0.201270441112935)-π/2
    2×0.198616838858239-π/2
    0.397233677716478-1.57079632675     		φ = -1.17356265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74212281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.816284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17356265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.240187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50939 KachelY 49489 1.74212281 -1.17356265 99.816284 -67.240187
    Oben rechts KachelX + 1 50940 KachelY 49489 1.74221868 -1.17356265 99.821777 -67.240187
    Unten links KachelX 50939 KachelY + 1 49490 1.74212281 -1.17359974 99.816284 -67.242312
    Unten rechts KachelX + 1 50940 KachelY + 1 49490 1.74221868 -1.17359974 99.821777 -67.242312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17356265--1.17359974) × R
    3.70899999999619e-05 × 6371000     		dl = 236.300389999757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17356265--1.17359974) × R
    3.70899999999619e-05 × 6371000     		dr = 236.300389999757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74212281-1.74221868) × cos(-1.17356265) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.386868903137779 × 6371000     		do = 236.294794629865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74212281-1.74221868) × cos(-1.17359974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38683470089472 × 6371000     		du = 236.273904318098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17356265)-sin(-1.17359974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386868903137779-0.38683470089472)×R²
    abs(1.74221868-1.74212281)×3.4202243058723e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.4202243058723e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.4202243058723e-05×40589641000000     		ar = 55834.0839377137m²