Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50937 / 48125
↖ ↑ ↗
← S 64.160925°
E 99.805298°		 ← 266.21 m → S 64.160925°
E 99.810791°		 →
↑
266.18 m
↓
↑
266.18 m
↓
S 64.163319°
E 99.805298°		 ← 266.19 m →
70 857 m²		 S 64.163319°
E 99.810791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777244567871094 y=0.734336853027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777244567871094 × 216)
    floor (0.777244567871094 × 65536)
    floor (50937.5)     		tx = 50937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734336853027344 × 216)
    floor (0.734336853027344 × 65536)
    floor (48125.5)     		ty = 48125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50937 / 48125 ti = "16/50937/48125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50937/48125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50937 ÷ 216
    50937 ÷ 65536     		x = 0.777236938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48125 ÷ 216
    48125 ÷ 65536     		y = 0.734329223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777236938476562 × 2 - 1) × π
    0.554473876953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74193106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734329223632812 × 2 - 1) × π
    -0.468658447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4723339349304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74193106} λ = 1.74193106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4723339349304))-π/2
    2×atan(0.229389479809606)-π/2
    2×0.225488464397514-π/2
    0.450976928795028-1.57079632675     		φ = -1.11981940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74193106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.805298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11981940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.160925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50937 KachelY 48125 1.74193106 -1.11981940 99.805298 -64.160925
    Oben rechts KachelX + 1 50938 KachelY 48125 1.74202693 -1.11981940 99.810791 -64.160925
    Unten links KachelX 50937 KachelY + 1 48126 1.74193106 -1.11986118 99.805298 -64.163319
    Unten rechts KachelX + 1 50938 KachelY + 1 48126 1.74202693 -1.11986118 99.810791 -64.163319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11981940--1.11986118) × R
    4.17800000001023e-05 × 6371000     		dl = 266.180380000652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11981940--1.11986118) × R
    4.17800000001023e-05 × 6371000     		dr = 266.180380000652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74193106-1.74202693) × cos(-1.11981940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435844997310498 × 6371000     		do = 266.208793972929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74193106-1.74202693) × cos(-1.11986118) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435807394021677 × 6371000     		du = 266.185826344006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11981940)-sin(-1.11986118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435844997310498-0.435807394021677)×R²
    abs(1.74202693-1.74193106)×3.76032888206868e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.76032888206868e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.76032888206868e-05×40589641000000     		ar = 70856.5011833482m²