Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50936 / 48126
↖ ↑ ↗
← S 64.163319°
E 99.799804°		 ← 266.21 m → S 64.163319°
E 99.805298°		 →
↑
266.18 m
↓
↑
266.18 m
↓
S 64.165713°
E 99.799804°		 ← 266.19 m →
70 858 m²		 S 64.165713°
E 99.805298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777229309082031 y=0.734352111816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777229309082031 × 216)
    floor (0.777229309082031 × 65536)
    floor (50936.5)     		tx = 50936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734352111816406 × 216)
    floor (0.734352111816406 × 65536)
    floor (48126.5)     		ty = 48126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50936 / 48126 ti = "16/50936/48126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50936/48126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50936 ÷ 216
    50936 ÷ 65536     		x = 0.7772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48126 ÷ 216
    48126 ÷ 65536     		y = 0.734344482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7772216796875 × 2 - 1) × π
    0.554443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74183518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734344482421875 × 2 - 1) × π
    -0.46868896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47242980872964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74183518} λ = 1.74183518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47242980872964))-π/2
    2×atan(0.229367488422886)-π/2
    2×0.225467572240937-π/2
    0.450935144481875-1.57079632675     		φ = -1.11986118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74183518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.799804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11986118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.163319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50936 KachelY 48126 1.74183518 -1.11986118 99.799804 -64.163319
    Oben rechts KachelX + 1 50937 KachelY 48126 1.74193106 -1.11986118 99.805298 -64.163319
    Unten links KachelX 50936 KachelY + 1 48127 1.74183518 -1.11990296 99.799804 -64.165713
    Unten rechts KachelX + 1 50937 KachelY + 1 48127 1.74193106 -1.11990296 99.805298 -64.165713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11986118--1.11990296) × R
    4.17799999998802e-05 × 6371000     		dl = 266.180379999237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11986118--1.11990296) × R
    4.17799999998802e-05 × 6371000     		dr = 266.180379999237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74183518-1.74193106) × cos(-1.11986118) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.435807394021677 × 6371000     		do = 266.21359163291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74183518-1.74193106) × cos(-1.11990296) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.435769789972125 × 6371000     		du = 266.190621143587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11986118)-sin(-1.11990296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435807394021677-0.435769789972125)×R²
    abs(1.74193106-1.74183518)×3.76040495521091e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.76040495521091e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.76040495521091e-05×40589641000000     		ar = 70857.7778453134m²