Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50935 / 48937
↖ ↑ ↗
← S 66.038104°
E 99.794311°		 ← 248.06 m → S 66.038104°
E 99.799804°		 →
↑
248.09 m
↓
↑
248.09 m
↓
S 66.040335°
E 99.794311°		 ← 248.04 m →
61 537 m²		 S 66.040335°
E 99.799804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777214050292969 y=0.746726989746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777214050292969 × 216)
    floor (0.777214050292969 × 65536)
    floor (50935.5)     		tx = 50935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746726989746094 × 216)
    floor (0.746726989746094 × 65536)
    floor (48937.5)     		ty = 48937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50935 / 48937 ti = "16/50935/48937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50935/48937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50935 ÷ 216
    50935 ÷ 65536     		x = 0.777206420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48937 ÷ 216
    48937 ÷ 65536     		y = 0.746719360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777206420898438 × 2 - 1) × π
    0.554412841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74173931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746719360351562 × 2 - 1) × π
    -0.493438720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55018345991338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74173931} λ = 1.74173931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55018345991338))-π/2
    2×atan(0.212209038403504)-π/2
    2×0.209106985966312-π/2
    0.418213971932625-1.57079632675     		φ = -1.15258235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74173931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.794311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15258235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.038104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50935 KachelY 48937 1.74173931 -1.15258235 99.794311 -66.038104
    Oben rechts KachelX + 1 50936 KachelY 48937 1.74183518 -1.15258235 99.799804 -66.038104
    Unten links KachelX 50935 KachelY + 1 48938 1.74173931 -1.15262129 99.794311 -66.040335
    Unten rechts KachelX + 1 50936 KachelY + 1 48938 1.74183518 -1.15262129 99.799804 -66.040335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15258235--1.15262129) × R
    3.89399999998208e-05 × 6371000     		dl = 248.086739998858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15258235--1.15262129) × R
    3.89399999998208e-05 × 6371000     		dr = 248.086739998858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74173931-1.74183518) × cos(-1.15258235) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.406129005537799 × 6371000     		do = 248.058629624745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74173931-1.74183518) × cos(-1.15262129) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.406093421244466 × 6371000     		du = 248.036895173573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15258235)-sin(-1.15262129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406129005537799-0.406093421244466)×R²
    abs(1.74183518-1.74173931)×3.55842933332795e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.55842933332795e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.55842933332795e-05×40589641000000     		ar = 61537.3607455796m²