Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50935 / 48120
↖ ↑ ↗
← S 64.148952°
E 99.794311°		 ← 266.32 m → S 64.148952°
E 99.799804°		 →
↑
266.31 m
↓
↑
266.31 m
↓
S 64.151347°
E 99.794311°		 ← 266.30 m →
70 921 m²		 S 64.151347°
E 99.799804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777214050292969 y=0.734260559082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777214050292969 × 216)
    floor (0.777214050292969 × 65536)
    floor (50935.5)     		tx = 50935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734260559082031 × 216)
    floor (0.734260559082031 × 65536)
    floor (48120.5)     		ty = 48120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50935 / 48120 ti = "16/50935/48120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50935/48120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50935 ÷ 216
    50935 ÷ 65536     		x = 0.777206420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48120 ÷ 216
    48120 ÷ 65536     		y = 0.7342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777206420898438 × 2 - 1) × π
    0.554412841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74173931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7342529296875 × 2 - 1) × π
    -0.468505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4718545659342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74173931} λ = 1.74173931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4718545659342))-π/2
    2×atan(0.229499468374729)-π/2
    2×0.22559295222524-π/2
    0.451185904450481-1.57079632675     		φ = -1.11961042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74173931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.794311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11961042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.148952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50935 KachelY 48120 1.74173931 -1.11961042 99.794311 -64.148952
    Oben rechts KachelX + 1 50936 KachelY 48120 1.74183518 -1.11961042 99.799804 -64.148952
    Unten links KachelX 50935 KachelY + 1 48121 1.74173931 -1.11965222 99.794311 -64.151347
    Unten rechts KachelX + 1 50936 KachelY + 1 48121 1.74183518 -1.11965222 99.799804 -64.151347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11961042--1.11965222) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dl = 266.307799999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11961042--1.11965222) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dr = 266.307799999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74173931-1.74183518) × cos(-1.11961042) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.436033074335782 × 6371000     		do = 266.323669119791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74173931-1.74183518) × cos(-1.11965222) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435995456854084 × 6371000     		du = 266.300692822031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11961042)-sin(-1.11965222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436033074335782-0.435995456854084)×R²
    abs(1.74183518-1.74173931)×3.76174816978381e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.76174816978381e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.76174816978381e-05×40589641000000     		ar = 70921.0110376977m²