Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50933 / 48949
↖ ↑ ↗
← S 66.064861°
E 99.783325°		 ← 247.82 m → S 66.064861°
E 99.788819°		 →
↑
247.83 m
↓
↑
247.83 m
↓
S 66.067090°
E 99.783325°		 ← 247.80 m →
61 416 m²		 S 66.067090°
E 99.788819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777183532714844 y=0.746910095214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777183532714844 × 216)
    floor (0.777183532714844 × 65536)
    floor (50933.5)     		tx = 50933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746910095214844 × 216)
    floor (0.746910095214844 × 65536)
    floor (48949.5)     		ty = 48949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50933 / 48949 ti = "16/50933/48949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50933/48949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50933 ÷ 216
    50933 ÷ 65536     		x = 0.777175903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48949 ÷ 216
    48949 ÷ 65536     		y = 0.746902465820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777175903320312 × 2 - 1) × π
    0.554351806640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74154756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746902465820312 × 2 - 1) × π
    -0.493804931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55133394550426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74154756} λ = 1.74154756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55133394550426))-π/2
    2×atan(0.211965035350479)-π/2
    2×0.208873485957414-π/2
    0.417746971914828-1.57079632675     		φ = -1.15304935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74154756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.783325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15304935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.064861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50933 KachelY 48949 1.74154756 -1.15304935 99.783325 -66.064861
    Oben rechts KachelX + 1 50934 KachelY 48949 1.74164344 -1.15304935 99.788819 -66.064861
    Unten links KachelX 50933 KachelY + 1 48950 1.74154756 -1.15308825 99.783325 -66.067090
    Unten rechts KachelX + 1 50934 KachelY + 1 48950 1.74164344 -1.15308825 99.788819 -66.067090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15304935--1.15308825) × R
    3.88999999998418e-05 × 6371000     		dl = 247.831899998992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15304935--1.15308825) × R
    3.88999999998418e-05 × 6371000     		dr = 247.831899998992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74154756-1.74164344) × cos(-1.15304935) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.405702209310417 × 6371000     		do = 247.823794996375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74154756-1.74164344) × cos(-1.15308825) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.405666654196684 × 6371000     		du = 247.80207610253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15304935)-sin(-1.15308825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405702209310417-0.405666654196684)×R²
    abs(1.74164344-1.74154756)×3.55551137328769e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.55551137328769e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.55551137328769e-05×40589641000000     		ar = 61415.950669343m²