Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50933 / 48093
↖ ↑ ↗
← S 64.084206°
E 99.783325°		 ← 266.97 m → S 64.084206°
E 99.788819°		 →
↑
266.94 m
↓
↑
266.94 m
↓
S 64.086607°
E 99.783325°		 ← 266.95 m →
71 264 m²		 S 64.086607°
E 99.788819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777183532714844 y=0.733848571777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777183532714844 × 216)
    floor (0.777183532714844 × 65536)
    floor (50933.5)     		tx = 50933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733848571777344 × 216)
    floor (0.733848571777344 × 65536)
    floor (48093.5)     		ty = 48093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50933 / 48093 ti = "16/50933/48093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50933/48093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50933 ÷ 216
    50933 ÷ 65536     		x = 0.777175903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48093 ÷ 216
    48093 ÷ 65536     		y = 0.733840942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777175903320312 × 2 - 1) × π
    0.554351806640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74154756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733840942382812 × 2 - 1) × π
    -0.467681884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46926597335472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74154756} λ = 1.74154756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46926597335472))-π/2
    2×atan(0.230094318575802)-π/2
    2×0.2261579659522-π/2
    0.4523159319044-1.57079632675     		φ = -1.11848039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74154756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.783325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11848039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.084206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50933 KachelY 48093 1.74154756 -1.11848039 99.783325 -64.084206
    Oben rechts KachelX + 1 50934 KachelY 48093 1.74164344 -1.11848039 99.788819 -64.084206
    Unten links KachelX 50933 KachelY + 1 48094 1.74154756 -1.11852229 99.783325 -64.086607
    Unten rechts KachelX + 1 50934 KachelY + 1 48094 1.74164344 -1.11852229 99.788819 -64.086607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11848039--1.11852229) × R
    4.19000000000391e-05 × 6371000     		dl = 266.944900000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11848039--1.11852229) × R
    4.19000000000391e-05 × 6371000     		dr = 266.944900000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74154756-1.74164344) × cos(-1.11848039) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.437049744341198 × 6371000     		do = 266.972483164267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74154756-1.74164344) × cos(-1.11852229) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.437012057533196 × 6371000     		du = 266.949462121823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11848039)-sin(-1.11852229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437049744341198-0.437012057533196)×R²
    abs(1.74164344-1.74154756)×3.76868080020909e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.76868080020909e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.76868080020909e-05×40589641000000     		ar = 71263.8701565864m²