Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50930 / 48111
↖ ↑ ↗
← S 64.127387°
E 99.766846°		 ← 266.56 m → S 64.127387°
E 99.772339°		 →
↑
266.50 m
↓
↑
266.50 m
↓
S 64.129783°
E 99.766846°		 ← 266.54 m →
71 034 m²		 S 64.129783°
E 99.772339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777137756347656 y=0.734123229980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777137756347656 × 216)
    floor (0.777137756347656 × 65536)
    floor (50930.5)     		tx = 50930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734123229980469 × 216)
    floor (0.734123229980469 × 65536)
    floor (48111.5)     		ty = 48111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50930 / 48111 ti = "16/50930/48111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50930/48111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50930 ÷ 216
    50930 ÷ 65536     		x = 0.777130126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48111 ÷ 216
    48111 ÷ 65536     		y = 0.734115600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777130126953125 × 2 - 1) × π
    0.55426025390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74125994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734115600585938 × 2 - 1) × π
    -0.468231201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47099170174104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74125994} λ = 1.74125994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47099170174104))-π/2
    2×atan(0.229697580708066)-π/2
    2×0.225781143940993-π/2
    0.451562287881985-1.57079632675     		φ = -1.11923404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74125994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.766846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11923404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.127387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50930 KachelY 48111 1.74125994 -1.11923404 99.766846 -64.127387
    Oben rechts KachelX + 1 50931 KachelY 48111 1.74135582 -1.11923404 99.772339 -64.127387
    Unten links KachelX 50930 KachelY + 1 48112 1.74125994 -1.11927587 99.766846 -64.129783
    Unten rechts KachelX + 1 50931 KachelY + 1 48112 1.74135582 -1.11927587 99.772339 -64.129783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11923404--1.11927587) × R
    4.18300000000205e-05 × 6371000     		dl = 266.49893000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11923404--1.11927587) × R
    4.18300000000205e-05 × 6371000     		dr = 266.49893000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74125994-1.74135582) × cos(-1.11923404) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.436371759337697 × 6371000     		do = 266.558335022078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74125994-1.74135582) × cos(-1.11927587) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.436334121724797 × 6371000     		du = 266.535344030535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11923404)-sin(-1.11927587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436371759337697-0.436334121724797)×R²
    abs(1.74135582-1.74125994)×3.76376129001543e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.76376129001543e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.76376129001543e-05×40589641000000     		ar = 71034.4475394144m²