Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5093 / 7191
↖ ↑ ↗
← S 79.359590°
E 43.813476°		 ← 902.26 m → S 79.359590°
E 43.857422°		 →
↑
901.94 m
↓
↑
901.94 m
↓
S 79.367701°
E 43.813476°		 ← 901.58 m →
813 484 m²		 S 79.367701°
E 43.857422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62176513671875 y=0.87786865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62176513671875 × 213)
    floor (0.62176513671875 × 8192)
    floor (5093.5)     		tx = 5093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87786865234375 × 213)
    floor (0.87786865234375 × 8192)
    floor (7191.5)     		ty = 7191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5093 / 7191 ti = "13/5093/7191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5093/7191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5093 ÷ 213
    5093 ÷ 8192     		x = 0.6217041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7191 ÷ 213
    7191 ÷ 8192     		y = 0.8778076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6217041015625 × 2 - 1) × π
    0.243408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76468942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8778076171875 × 2 - 1) × π
    -0.755615234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.37383526918518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76468942} λ = 0.76468942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37383526918518))-π/2
    2×atan(0.0931228891686029)-π/2
    2×0.0928550978714685-π/2
    0.185710195742937-1.57079632675     		φ = -1.38508613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76468942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.813476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38508613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.359590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5093 KachelY 7191 0.76468942 -1.38508613 43.813476 -79.359590
    Oben rechts KachelX + 1 5094 KachelY 7191 0.76545641 -1.38508613 43.857422 -79.359590
    Unten links KachelX 5093 KachelY + 1 7192 0.76468942 -1.38522770 43.813476 -79.367701
    Unten rechts KachelX + 1 5094 KachelY + 1 7192 0.76545641 -1.38522770 43.857422 -79.367701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38508613--1.38522770) × R
    0.000141570000000035 × 6371000     		dl = 901.942470000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38508613--1.38522770) × R
    0.000141570000000035 × 6371000     		dr = 901.942470000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76468942-0.76545641) × cos(-1.38508613) × R
    0.000766990000000023 × 0.184644565254717 × 6371000     		do = 902.264429152167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76468942-0.76545641) × cos(-1.38522770) × R
    0.000766990000000023 × 0.184505427649398 × 6371000     		du = 901.584534177389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38508613)-sin(-1.38522770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184644565254717-0.184505427649398)×R²
    abs(0.76545641-0.76468942)×0.000139137605319029×R²
    0.000766990000000023×0.000139137605319029×6371000²
    0.000766990000000023×0.000139137605319029×40589641000000     		ar = 813483.996105177m²