Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50929 / 81649
↖ ↑ ↗
← S 40.415587°
W 40.119324°		 ← 232.49 m → S 40.415587°
W 40.116577°		 →
↑
232.48 m
↓
↑
232.48 m
↓
S 40.417678°
W 40.119324°		 ← 232.48 m →
54 048 m²		 S 40.417678°
W 40.116577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388561248779297 y=0.622936248779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388561248779297 × 217)
    floor (0.388561248779297 × 131072)
    floor (50929.5)     		tx = 50929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622936248779297 × 217)
    floor (0.622936248779297 × 131072)
    floor (81649.5)     		ty = 81649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50929 / 81649 ti = "17/50929/81649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50929/81649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50929 ÷ 217
    50929 ÷ 131072     		x = 0.388557434082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81649 ÷ 217
    81649 ÷ 131072     		y = 0.622932434082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.388557434082031 × 2 - 1) × π
    -0.222885131835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.70021429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622932434082031 × 2 - 1) × π
    -0.245864868164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.772407263577965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70021429} λ = -0.70021429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.772407263577965))-π/2
    2×atan(0.461899814301278)-π/2
    2×0.432705630301859-π/2
    0.865411260603718-1.57079632675     		φ = -0.70538507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70021429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.119324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70538507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.415587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50929 KachelY 81649 -0.70021429 -0.70538507 -40.119324 -40.415587
    Oben rechts KachelX + 1 50930 KachelY 81649 -0.70016636 -0.70538507 -40.116577 -40.415587
    Unten links KachelX 50929 KachelY + 1 81650 -0.70021429 -0.70542156 -40.119324 -40.417678
    Unten rechts KachelX + 1 50930 KachelY + 1 81650 -0.70016636 -0.70542156 -40.116577 -40.417678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70538507--0.70542156) × R
    3.64900000000556e-05 × 6371000     		dl = 232.477790000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70538507--0.70542156) × R
    3.64900000000556e-05 × 6371000     		dr = 232.477790000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70021429--0.70016636) × cos(-0.70538507) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.761361956916027 × 6371000     		do = 232.491032728793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70021429--0.70016636) × cos(-0.70542156) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.761338298954902 × 6371000     		du = 232.483808485758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70538507)-sin(-0.70542156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761361956916027-0.761338298954902)×R²
    abs(-0.70016636--0.70021429)×2.36579611250232e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36579611250232e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36579611250232e-05×40589641000000     		ar = 54048.1617515928m²