Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50929 / 48112
↖ ↑ ↗
← S 64.129783°
E 99.761353°		 ← 266.51 m → S 64.129783°
E 99.766846°		 →
↑
266.50 m
↓
↑
266.50 m
↓
S 64.132180°
E 99.761353°		 ← 266.48 m →
71 021 m²		 S 64.132180°
E 99.766846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777122497558594 y=0.734138488769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777122497558594 × 216)
    floor (0.777122497558594 × 65536)
    floor (50929.5)     		tx = 50929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734138488769531 × 216)
    floor (0.734138488769531 × 65536)
    floor (48112.5)     		ty = 48112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50929 / 48112 ti = "16/50929/48112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50929/48112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50929 ÷ 216
    50929 ÷ 65536     		x = 0.777114868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48112 ÷ 216
    48112 ÷ 65536     		y = 0.734130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777114868164062 × 2 - 1) × π
    0.554229736328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74116407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734130859375 × 2 - 1) × π
    -0.46826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47108757554028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74116407} λ = 1.74116407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47108757554028))-π/2
    2×atan(0.229675559783959)-π/2
    2×0.22576022653395-π/2
    0.451520453067901-1.57079632675     		φ = -1.11927587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74116407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.761353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11927587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.129783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50929 KachelY 48112 1.74116407 -1.11927587 99.761353 -64.129783
    Oben rechts KachelX + 1 50930 KachelY 48112 1.74125994 -1.11927587 99.766846 -64.129783
    Unten links KachelX 50929 KachelY + 1 48113 1.74116407 -1.11931770 99.761353 -64.132180
    Unten rechts KachelX + 1 50930 KachelY + 1 48113 1.74125994 -1.11931770 99.766846 -64.132180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11927587--1.11931770) × R
    4.18300000000205e-05 × 6371000     		dl = 266.49893000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11927587--1.11931770) × R
    4.18300000000205e-05 × 6371000     		dr = 266.49893000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74116407-1.74125994) × cos(-1.11927587) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.436334121724797 × 6371000     		do = 266.507545183191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74116407-1.74125994) × cos(-1.11931770) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.436296483348421 × 6371000     		du = 266.484556123219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11927587)-sin(-1.11931770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436334121724797-0.436296483348421)×R²
    abs(1.74125994-1.74116407)×3.76383763753263e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.76383763753263e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.76383763753263e-05×40589641000000     		ar = 71020.9123583537m²