Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50925 / 48101
↖ ↑ ↗
← S 64.103406°
E 99.739380°		 ← 266.79 m → S 64.103406°
E 99.744873°		 →
↑
266.75 m
↓
↑
266.75 m
↓
S 64.105805°
E 99.739380°		 ← 266.77 m →
71 164 m²		 S 64.105805°
E 99.744873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777061462402344 y=0.733970642089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777061462402344 × 216)
    floor (0.777061462402344 × 65536)
    floor (50925.5)     		tx = 50925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733970642089844 × 216)
    floor (0.733970642089844 × 65536)
    floor (48101.5)     		ty = 48101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50925 / 48101 ti = "16/50925/48101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50925/48101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50925 ÷ 216
    50925 ÷ 65536     		x = 0.777053833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48101 ÷ 216
    48101 ÷ 65536     		y = 0.733963012695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777053833007812 × 2 - 1) × π
    0.554107666015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74078057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733963012695312 × 2 - 1) × π
    -0.467926025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47003296374864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74078057} λ = 1.74078057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47003296374864))-π/2
    2×atan(0.229917906105742)-π/2
    2×0.225990417278428-π/2
    0.451980834556857-1.57079632675     		φ = -1.11881549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74078057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.739380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11881549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.103406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50925 KachelY 48101 1.74078057 -1.11881549 99.739380 -64.103406
    Oben rechts KachelX + 1 50926 KachelY 48101 1.74087645 -1.11881549 99.744873 -64.103406
    Unten links KachelX 50925 KachelY + 1 48102 1.74078057 -1.11885736 99.739380 -64.105805
    Unten rechts KachelX + 1 50926 KachelY + 1 48102 1.74087645 -1.11885736 99.744873 -64.105805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11881549--1.11885736) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dl = 266.753769999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11881549--1.11885736) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dr = 266.753769999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74078057-1.74087645) × cos(-1.11881549) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.436748318357026 × 6371000     		do = 266.788356655726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74078057-1.74087645) × cos(-1.11885736) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.436710652402986 × 6371000     		du = 266.765348351955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11881549)-sin(-1.11885736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436748318357026-0.436710652402986)×R²
    abs(1.74087645-1.74078057)×3.76659540403668e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.76659540403668e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.76659540403668e-05×40589641000000     		ar = 71163.7311646655m²