Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5092 / 1252
↖ ↑ ↗
← N 77.118032°
E 43.769531°		 ← 1 089.41 m → N 77.118032°
E 43.813476°		 →
↑
1 089.82 m
↓
↑
1 089.82 m
↓
N 77.108231°
E 43.769531°		 ← 1 090.23 m →
1 187 710 m²		 N 77.108231°
E 43.813476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62164306640625 y=0.15289306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62164306640625 × 213)
    floor (0.62164306640625 × 8192)
    floor (5092.5)     		tx = 5092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15289306640625 × 213)
    floor (0.15289306640625 × 8192)
    floor (1252.5)     		ty = 1252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5092 / 1252 ti = "13/5092/1252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5092/1252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5092 ÷ 213
    5092 ÷ 8192     		x = 0.62158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1252 ÷ 213
    1252 ÷ 8192     		y = 0.15283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62158203125 × 2 - 1) × π
    0.2431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76392243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15283203125 × 2 - 1) × π
    0.6943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18132068031103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76392243} λ = 0.76392243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18132068031103))-π/2
    2×atan(8.8579971194677)-π/2
    2×1.45837994727934-π/2
    2.91675989455868-1.57079632675     		φ = 1.34596357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76392243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34596357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.118032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5092 KachelY 1252 0.76392243 1.34596357 43.769531 77.118032
    Oben rechts KachelX + 1 5093 KachelY 1252 0.76468942 1.34596357 43.813476 77.118032
    Unten links KachelX 5092 KachelY + 1 1253 0.76392243 1.34579251 43.769531 77.108231
    Unten rechts KachelX + 1 5093 KachelY + 1 1253 0.76468942 1.34579251 43.813476 77.108231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34596357-1.34579251) × R
    0.000171060000000001 × 6371000     		dl = 1089.82326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34596357-1.34579251) × R
    0.000171060000000001 × 6371000     		dr = 1089.82326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76392243-0.76468942) × cos(1.34596357) × R
    0.000766989999999912 × 0.222943331321548 × 6371000     		do = 1089.41109255287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76392243-0.76468942) × cos(1.34579251) × R
    0.000766989999999912 × 0.223110082719293 × 6371000     		du = 1090.22592213905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34596357)-sin(1.34579251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222943331321548-0.223110082719293)×R²
    abs(0.76468942-0.76392243)×0.000166751397744913×R²
    0.000766989999999912×0.000166751397744913×6371000²
    0.000766989999999912×0.000166751397744913×40589641000000     		ar = 1187709.56138016m²