Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50919 / 49210
↖ ↑ ↗
← S 66.639912°
E 99.706421°		 ← 242.18 m → S 66.639912°
E 99.711914°		 →
↑
242.23 m
↓
↑
242.23 m
↓
S 66.642091°
E 99.706421°		 ← 242.16 m →
58 660 m²		 S 66.642091°
E 99.711914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776969909667969 y=0.750892639160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776969909667969 × 216)
    floor (0.776969909667969 × 65536)
    floor (50919.5)     		tx = 50919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750892639160156 × 216)
    floor (0.750892639160156 × 65536)
    floor (49210.5)     		ty = 49210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50919 / 49210 ti = "16/50919/49210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50919/49210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50919 ÷ 216
    50919 ÷ 65536     		x = 0.776962280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49210 ÷ 216
    49210 ÷ 65536     		y = 0.750885009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776962280273438 × 2 - 1) × π
    0.553924560546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74020533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750885009765625 × 2 - 1) × π
    -0.50177001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57635700710593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74020533} λ = 1.74020533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57635700710593))-π/2
    2×atan(0.20672683247392)-π/2
    2×0.203855221673961-π/2
    0.407710443347922-1.57079632675     		φ = -1.16308588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74020533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.706421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16308588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.639912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50919 KachelY 49210 1.74020533 -1.16308588 99.706421 -66.639912
    Oben rechts KachelX + 1 50920 KachelY 49210 1.74030120 -1.16308588 99.711914 -66.639912
    Unten links KachelX 50919 KachelY + 1 49211 1.74020533 -1.16312390 99.706421 -66.642091
    Unten rechts KachelX + 1 50920 KachelY + 1 49211 1.74030120 -1.16312390 99.711914 -66.642091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16308588--1.16312390) × R
    3.8020000000083e-05 × 6371000     		dl = 242.225420000529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16308588--1.16312390) × R
    3.8020000000083e-05 × 6371000     		dr = 242.225420000529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74020533-1.74030120) × cos(-1.16308588) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.396508488134287 × 6371000     		do = 242.182535253607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74020533-1.74030120) × cos(-1.16312390) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.396473584306985 × 6371000     		du = 242.161216422765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16308588)-sin(-1.16312390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396508488134287-0.396473584306985)×R²
    abs(1.74030120-1.74020533)×3.49038273018132e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.49038273018132e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.49038273018132e-05×40589641000000     		ar = 58660.1843441246m²