Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50917 / 48118
↖ ↑ ↗
← S 64.144161°
E 99.695434°		 ← 266.40 m → S 64.144161°
E 99.700928°		 →
↑
266.37 m
↓
↑
266.37 m
↓
S 64.146557°
E 99.695434°		 ← 266.37 m →
70 958 m²		 S 64.146557°
E 99.700928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776939392089844 y=0.734230041503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776939392089844 × 216)
    floor (0.776939392089844 × 65536)
    floor (50917.5)     		tx = 50917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734230041503906 × 216)
    floor (0.734230041503906 × 65536)
    floor (48118.5)     		ty = 48118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50917 / 48118 ti = "16/50917/48118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50917/48118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50917 ÷ 216
    50917 ÷ 65536     		x = 0.776931762695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48118 ÷ 216
    48118 ÷ 65536     		y = 0.734222412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776931762695312 × 2 - 1) × π
    0.553863525390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74001358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734222412109375 × 2 - 1) × π
    -0.46844482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47166281833572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74001358} λ = 1.74001358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47166281833572))-π/2
    2×atan(0.229543478565931)-π/2
    2×0.22563475997948-π/2
    0.45126951995896-1.57079632675     		φ = -1.11952681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74001358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.695434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11952681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.144161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50917 KachelY 48118 1.74001358 -1.11952681 99.695434 -64.144161
    Oben rechts KachelX + 1 50918 KachelY 48118 1.74010946 -1.11952681 99.700928 -64.144161
    Unten links KachelX 50917 KachelY + 1 48119 1.74001358 -1.11956862 99.695434 -64.146557
    Unten rechts KachelX + 1 50918 KachelY + 1 48119 1.74010946 -1.11956862 99.700928 -64.146557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11952681--1.11956862) × R
    4.180999999992e-05 × 6371000     		dl = 266.37150999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11952681--1.11956862) × R
    4.180999999992e-05 × 6371000     		dr = 266.37150999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74001358-1.74010946) × cos(-1.11952681) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.43610831601249 × 6371000     		do = 266.397410276363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74001358-1.74010946) × cos(-1.11956862) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.436070691055625 × 6371000     		du = 266.374427015777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11952681)-sin(-1.11956862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43610831601249-0.436070691055625)×R²
    abs(1.74010946-1.74001358)×3.76249568650455e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.76249568650455e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.76249568650455e-05×40589641000000     		ar = 70957.6194028501m²