Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50916 / 48090
↖ ↑ ↗
← S 64.077003°
E 99.689941°		 ← 267.01 m → S 64.077003°
E 99.695434°		 →
↑
267.01 m
↓
↑
267.01 m
↓
S 64.079404°
E 99.689941°		 ← 266.99 m →
71 292 m²		 S 64.079404°
E 99.695434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776924133300781 y=0.733802795410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776924133300781 × 216)
    floor (0.776924133300781 × 65536)
    floor (50916.5)     		tx = 50916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733802795410156 × 216)
    floor (0.733802795410156 × 65536)
    floor (48090.5)     		ty = 48090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50916 / 48090 ti = "16/50916/48090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50916/48090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50916 ÷ 216
    50916 ÷ 65536     		x = 0.77691650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48090 ÷ 216
    48090 ÷ 65536     		y = 0.733795166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77691650390625 × 2 - 1) × π
    0.5538330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73991771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733795166015625 × 2 - 1) × π
    -0.46759033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.468978351957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73991771} λ = 1.73991771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.468978351957))-π/2
    2×atan(0.23016050814363)-π/2
    2×0.226220826511154-π/2
    0.452441653022308-1.57079632675     		φ = -1.11835467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73991771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.689941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11835467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.077003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50916 KachelY 48090 1.73991771 -1.11835467 99.689941 -64.077003
    Oben rechts KachelX + 1 50917 KachelY 48090 1.74001358 -1.11835467 99.695434 -64.077003
    Unten links KachelX 50916 KachelY + 1 48091 1.73991771 -1.11839658 99.689941 -64.079404
    Unten rechts KachelX + 1 50917 KachelY + 1 48091 1.74001358 -1.11839658 99.695434 -64.079404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11835467--1.11839658) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dl = 267.008609999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11835467--1.11839658) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dr = 267.008609999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73991771-1.74001358) × cos(-1.11835467) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.437162818148854 × 6371000     		do = 267.013702824048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73991771-1.74001358) × cos(-1.11839658) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.437125124649276 × 6371000     		du = 266.990680095498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11835467)-sin(-1.11839658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437162818148854-0.437125124649276)×R²
    abs(1.74001358-1.73991771)×3.76934995774958e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.76934995774958e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.76934995774958e-05×40589641000000     		ar = 71291.8840189958m²