Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50914 / 48133
↖ ↑ ↗
← S 64.180072°
E 99.678955°		 ← 266.03 m → S 64.180072°
E 99.684448°		 →
↑
266.05 m
↓
↑
266.05 m
↓
S 64.182465°
E 99.678955°		 ← 266 m →
70 774 m²		 S 64.182465°
E 99.684448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776893615722656 y=0.734458923339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776893615722656 × 216)
    floor (0.776893615722656 × 65536)
    floor (50914.5)     		tx = 50914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734458923339844 × 216)
    floor (0.734458923339844 × 65536)
    floor (48133.5)     		ty = 48133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50914 / 48133 ti = "16/50914/48133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50914/48133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50914 ÷ 216
    50914 ÷ 65536     		x = 0.776885986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48133 ÷ 216
    48133 ÷ 65536     		y = 0.734451293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776885986328125 × 2 - 1) × π
    0.55377197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73972596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734451293945312 × 2 - 1) × π
    -0.468902587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47310092532433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73972596} λ = 1.73972596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47310092532433))-π/2
    2×atan(0.229213607736842)-π/2
    2×0.225321377614157-π/2
    0.450642755228314-1.57079632675     		φ = -1.12015357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73972596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.678955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12015357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.180072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50914 KachelY 48133 1.73972596 -1.12015357 99.678955 -64.180072
    Oben rechts KachelX + 1 50915 KachelY 48133 1.73982183 -1.12015357 99.684448 -64.180072
    Unten links KachelX 50914 KachelY + 1 48134 1.73972596 -1.12019533 99.678955 -64.182465
    Unten rechts KachelX + 1 50915 KachelY + 1 48134 1.73982183 -1.12019533 99.684448 -64.182465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12015357--1.12019533) × R
    4.17600000000018e-05 × 6371000     		dl = 266.052960000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12015357--1.12019533) × R
    4.17600000000018e-05 × 6371000     		dr = 266.052960000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73972596-1.73982183) × cos(-1.12015357) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435544212714839 × 6371000     		do = 266.025078420496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73972596-1.73982183) × cos(-1.12019533) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435506621346987 × 6371000     		du = 266.002118072755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12015357)-sin(-1.12019533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435544212714839-0.435506621346987)×R²
    abs(1.73982183-1.73972596)×3.75913678511419e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.75913678511419e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.75913678511419e-05×40589641000000     		ar = 70773.7052238495m²