Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50911 / 48302
↖ ↑ ↗
← S 64.581470°
E 99.662476°		 ← 262.17 m → S 64.581470°
E 99.667969°		 →
↑
262.17 m
↓
↑
262.17 m
↓
S 64.583827°
E 99.662476°		 ← 262.14 m →
68 728 m²		 S 64.583827°
E 99.667969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776847839355469 y=0.737037658691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776847839355469 × 216)
    floor (0.776847839355469 × 65536)
    floor (50911.5)     		tx = 50911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737037658691406 × 216)
    floor (0.737037658691406 × 65536)
    floor (48302.5)     		ty = 48302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50911 / 48302 ti = "16/50911/48302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50911/48302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50911 ÷ 216
    50911 ÷ 65536     		x = 0.776840209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48302 ÷ 216
    48302 ÷ 65536     		y = 0.737030029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776840209960938 × 2 - 1) × π
    0.553680419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73943834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737030029296875 × 2 - 1) × π
    -0.47406005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4893035973959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73943834} λ = 1.73943834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4893035973959))-π/2
    2×atan(0.225529660306567)-π/2
    2×0.221818523431493-π/2
    0.443637046862985-1.57079632675     		φ = -1.12715928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73943834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.662476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12715928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.581470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50911 KachelY 48302 1.73943834 -1.12715928 99.662476 -64.581470
    Oben rechts KachelX + 1 50912 KachelY 48302 1.73953421 -1.12715928 99.667969 -64.581470
    Unten links KachelX 50911 KachelY + 1 48303 1.73943834 -1.12720043 99.662476 -64.583827
    Unten rechts KachelX + 1 50912 KachelY + 1 48303 1.73953421 -1.12720043 99.667969 -64.583827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12715928--1.12720043) × R
    4.11499999999343e-05 × 6371000     		dl = 262.166649999581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12715928--1.12720043) × R
    4.11499999999343e-05 × 6371000     		dr = 262.166649999581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73943834-1.73953421) × cos(-1.12715928) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.429227264764294 × 6371000     		do = 262.166763868577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73943834-1.73953421) × cos(-1.12720043) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.429190097864063 × 6371000     		du = 262.144062780467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12715928)-sin(-1.12720043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429227264764294-0.429190097864063)×R²
    abs(1.73953421-1.73943834)×3.71669002304231e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.71669002304231e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.71669002304231e-05×40589641000000     		ar = 68728.4065005539m²