Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50910 / 48284
↖ ↑ ↗
← S 64.538996°
E 99.656983°		 ← 262.58 m → S 64.538996°
E 99.662476°		 →
↑
262.61 m
↓
↑
262.61 m
↓
S 64.541357°
E 99.656983°		 ← 262.55 m →
68 953 m²		 S 64.541357°
E 99.662476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776832580566406 y=0.736763000488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776832580566406 × 216)
    floor (0.776832580566406 × 65536)
    floor (50910.5)     		tx = 50910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736763000488281 × 216)
    floor (0.736763000488281 × 65536)
    floor (48284.5)     		ty = 48284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50910 / 48284 ti = "16/50910/48284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50910/48284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50910 ÷ 216
    50910 ÷ 65536     		x = 0.776824951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48284 ÷ 216
    48284 ÷ 65536     		y = 0.73675537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776824951171875 × 2 - 1) × π
    0.55364990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73934247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73675537109375 × 2 - 1) × π
    -0.4735107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48757786900958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73934247} λ = 1.73934247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48757786900958))-π/2
    2×atan(0.225919199265861)-π/2
    2×0.222189177023755-π/2
    0.44437835404751-1.57079632675     		φ = -1.12641797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73934247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.656983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12641797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.538996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50910 KachelY 48284 1.73934247 -1.12641797 99.656983 -64.538996
    Oben rechts KachelX + 1 50911 KachelY 48284 1.73943834 -1.12641797 99.662476 -64.538996
    Unten links KachelX 50910 KachelY + 1 48285 1.73934247 -1.12645919 99.656983 -64.541357
    Unten rechts KachelX + 1 50911 KachelY + 1 48285 1.73943834 -1.12645919 99.662476 -64.541357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12641797--1.12645919) × R
    4.1219999999953e-05 × 6371000     		dl = 262.6126199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12641797--1.12645919) × R
    4.1219999999953e-05 × 6371000     		dr = 262.6126199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73934247-1.73943834) × cos(-1.12641797) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.429896695376922 × 6371000     		do = 262.575643899634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73934247-1.73943834) × cos(-1.12645919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.429859478377168 × 6371000     		du = 262.552912211348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12641797)-sin(-1.12645919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429896695376922-0.429859478377168)×R²
    abs(1.73943834-1.73934247)×3.72169997536753e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72169997536753e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72169997536753e-05×40589641000000     		ar = 68952.6929880183m²