Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50909 / 48304
↖ ↑ ↗
← S 64.586185°
E 99.651489°		 ← 262.15 m → S 64.586185°
E 99.656983°		 →
↑
262.10 m
↓
↑
262.10 m
↓
S 64.588542°
E 99.651489°		 ← 262.13 m →
68 707 m²		 S 64.588542°
E 99.656983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776817321777344 y=0.737068176269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776817321777344 × 216)
    floor (0.776817321777344 × 65536)
    floor (50909.5)     		tx = 50909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737068176269531 × 216)
    floor (0.737068176269531 × 65536)
    floor (48304.5)     		ty = 48304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50909 / 48304 ti = "16/50909/48304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50909/48304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50909 ÷ 216
    50909 ÷ 65536     		x = 0.776809692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48304 ÷ 216
    48304 ÷ 65536     		y = 0.737060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776809692382812 × 2 - 1) × π
    0.553619384765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73924659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737060546875 × 2 - 1) × π
    -0.47412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48949534499438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73924659} λ = 1.73924659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48949534499438))-π/2
    2×atan(0.225486419681593)-π/2
    2×0.221777375346157-π/2
    0.443554750692314-1.57079632675     		φ = -1.12724158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73924659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.651489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12724158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.586185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50909 KachelY 48304 1.73924659 -1.12724158 99.651489 -64.586185
    Oben rechts KachelX + 1 50910 KachelY 48304 1.73934247 -1.12724158 99.656983 -64.586185
    Unten links KachelX 50909 KachelY + 1 48305 1.73924659 -1.12728272 99.651489 -64.588542
    Unten rechts KachelX + 1 50910 KachelY + 1 48305 1.73934247 -1.12728272 99.656983 -64.588542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12724158--1.12728272) × R
    4.11399999999951e-05 × 6371000     		dl = 262.102939999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12724158--1.12728272) × R
    4.11399999999951e-05 × 6371000     		dr = 262.102939999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73924659-1.73934247) × cos(-1.12724158) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.429152930237076 × 6371000     		do = 262.148702581482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73924659-1.73934247) × cos(-1.12728272) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.429115770915889 × 6371000     		du = 262.12600375514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12724158)-sin(-1.12728272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429152930237076-0.429115770915889)×R²
    abs(1.73934247-1.73924659)×3.71593211870302e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.71593211870302e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.71593211870302e-05×40589641000000     		ar = 68706.9709587711m²