Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50909 / 48282
↖ ↑ ↗
← S 64.534272°
E 99.651489°		 ← 262.65 m → S 64.534272°
E 99.656983°		 →
↑
262.68 m
↓
↑
262.68 m
↓
S 64.536634°
E 99.651489°		 ← 262.63 m →
68 989 m²		 S 64.536634°
E 99.656983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776817321777344 y=0.736732482910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776817321777344 × 216)
    floor (0.776817321777344 × 65536)
    floor (50909.5)     		tx = 50909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736732482910156 × 216)
    floor (0.736732482910156 × 65536)
    floor (48282.5)     		ty = 48282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50909 / 48282 ti = "16/50909/48282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50909/48282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50909 ÷ 216
    50909 ÷ 65536     		x = 0.776809692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48282 ÷ 216
    48282 ÷ 65536     		y = 0.736724853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776809692382812 × 2 - 1) × π
    0.553619384765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73924659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736724853515625 × 2 - 1) × π
    -0.47344970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4873861214111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73924659} λ = 1.73924659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4873861214111))-π/2
    2×atan(0.225962522883238)-π/2
    2×0.222230396420882-π/2
    0.444460792841764-1.57079632675     		φ = -1.12633553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73924659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.651489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12633553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.534272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50909 KachelY 48282 1.73924659 -1.12633553 99.651489 -64.534272
    Oben rechts KachelX + 1 50910 KachelY 48282 1.73934247 -1.12633553 99.656983 -64.534272
    Unten links KachelX 50909 KachelY + 1 48283 1.73924659 -1.12637676 99.651489 -64.536634
    Unten rechts KachelX + 1 50910 KachelY + 1 48283 1.73934247 -1.12637676 99.656983 -64.536634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12633553--1.12637676) × R
    4.12300000001142e-05 × 6371000     		dl = 262.676330000728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12633553--1.12637676) × R
    4.12300000001142e-05 × 6371000     		dr = 262.676330000728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73924659-1.73934247) × cos(-1.12633553) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.429971127185069 × 6371000     		do = 262.648499398095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73924659-1.73934247) × cos(-1.12637676) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.42993390261764 × 6371000     		du = 262.625760715989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12633553)-sin(-1.12637676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429971127185069-0.42993390261764)×R²
    abs(1.73934247-1.73924659)×3.72245674292171e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.72245674292171e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.72245674292171e-05×40589641000000     		ar = 68988.5574550343m²