Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50905 / 49273
↖ ↑ ↗
← S 66.776752°
E 99.629517°		 ← 240.84 m → S 66.776752°
E 99.635010°		 →
↑
240.89 m
↓
↑
240.89 m
↓
S 66.778918°
E 99.629517°		 ← 240.82 m →
58 013 m²		 S 66.778918°
E 99.635010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776756286621094 y=0.751853942871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776756286621094 × 216)
    floor (0.776756286621094 × 65536)
    floor (50905.5)     		tx = 50905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751853942871094 × 216)
    floor (0.751853942871094 × 65536)
    floor (49273.5)     		ty = 49273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50905 / 49273 ti = "16/50905/49273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50905/49273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50905 ÷ 216
    50905 ÷ 65536     		x = 0.776748657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49273 ÷ 216
    49273 ÷ 65536     		y = 0.751846313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776748657226562 × 2 - 1) × π
    0.553497314453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73886310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751846313476562 × 2 - 1) × π
    -0.503692626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58239705645805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73886310} λ = 1.73886310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58239705645805))-π/2
    2×atan(0.205481955547058)-π/2
    2×0.20266107121872-π/2
    0.405322142437439-1.57079632675     		φ = -1.16547418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73886310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.629517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16547418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.776752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50905 KachelY 49273 1.73886310 -1.16547418 99.629517 -66.776752
    Oben rechts KachelX + 1 50906 KachelY 49273 1.73895897 -1.16547418 99.635010 -66.776752
    Unten links KachelX 50905 KachelY + 1 49274 1.73886310 -1.16551199 99.629517 -66.778918
    Unten rechts KachelX + 1 50906 KachelY + 1 49274 1.73895897 -1.16551199 99.635010 -66.778918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16547418--1.16551199) × R
    3.7810000000027e-05 × 6371000     		dl = 240.887510000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16547418--1.16551199) × R
    3.7810000000027e-05 × 6371000     		dr = 240.887510000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73886310-1.73895897) × cos(-1.16547418) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394314825811739 × 6371000     		do = 240.842673135485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73886310-1.73895897) × cos(-1.16551199) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394280079069352 × 6371000     		du = 240.821450250188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16547418)-sin(-1.16551199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394314825811739-0.394280079069352)×R²
    abs(1.73895897-1.73886310)×3.47467423865155e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.47467423865155e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.47467423865155e-05×40589641000000     		ar = 58013.435676501m²