Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50902 / 49271
↖ ↑ ↗
← S 66.772420°
E 99.613037°		 ← 240.89 m → S 66.772420°
E 99.618530°		 →
↑
240.89 m
↓
↑
240.89 m
↓
S 66.774586°
E 99.613037°		 ← 240.86 m →
58 024 m²		 S 66.774586°
E 99.618530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776710510253906 y=0.751823425292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776710510253906 × 216)
    floor (0.776710510253906 × 65536)
    floor (50902.5)     		tx = 50902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751823425292969 × 216)
    floor (0.751823425292969 × 65536)
    floor (49271.5)     		ty = 49271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50902 / 49271 ti = "16/50902/49271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50902/49271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50902 ÷ 216
    50902 ÷ 65536     		x = 0.776702880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49271 ÷ 216
    49271 ÷ 65536     		y = 0.751815795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776702880859375 × 2 - 1) × π
    0.55340576171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73857548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751815795898438 × 2 - 1) × π
    -0.503631591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58220530885957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73857548} λ = 1.73857548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58220530885957))-π/2
    2×atan(0.205521359996298)-π/2
    2×0.20269887900973-π/2
    0.405397758019459-1.57079632675     		φ = -1.16539857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73857548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.613037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16539857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.772420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50902 KachelY 49271 1.73857548 -1.16539857 99.613037 -66.772420
    Oben rechts KachelX + 1 50903 KachelY 49271 1.73867135 -1.16539857 99.618530 -66.772420
    Unten links KachelX 50902 KachelY + 1 49272 1.73857548 -1.16543638 99.613037 -66.774586
    Unten rechts KachelX + 1 50903 KachelY + 1 49272 1.73867135 -1.16543638 99.618530 -66.774586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16539857--1.16543638) × R
    3.7810000000027e-05 × 6371000     		dl = 240.887510000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16539857--1.16543638) × R
    3.7810000000027e-05 × 6371000     		dr = 240.887510000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73857548-1.73867135) × cos(-1.16539857) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394384308415873 × 6371000     		do = 240.885112260318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73857548-1.73867135) × cos(-1.16543638) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394349562800809 × 6371000     		du = 240.863890063576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16539857)-sin(-1.16543638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394384308415873-0.394349562800809)×R²
    abs(1.73867135-1.73857548)×3.47456150640579e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.47456150640579e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.47456150640579e-05×40589641000000     		ar = 58023.6588142154m²