Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50899 / 48335
↖ ↑ ↗
← S 64.659167°
E 99.596557°		 ← 261.45 m → S 64.659167°
E 99.602051°		 →
↑
261.40 m
↓
↑
261.40 m
↓
S 64.661518°
E 99.596557°		 ← 261.42 m →
68 340 m²		 S 64.661518°
E 99.602051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776664733886719 y=0.737541198730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776664733886719 × 216)
    floor (0.776664733886719 × 65536)
    floor (50899.5)     		tx = 50899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737541198730469 × 216)
    floor (0.737541198730469 × 65536)
    floor (48335.5)     		ty = 48335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50899 / 48335 ti = "16/50899/48335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50899/48335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50899 ÷ 216
    50899 ÷ 65536     		x = 0.776657104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48335 ÷ 216
    48335 ÷ 65536     		y = 0.737533569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776657104492188 × 2 - 1) × π
    0.553314208984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73828785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737533569335938 × 2 - 1) × π
    -0.475067138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49246743277083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73828785} λ = 1.73828785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49246743277083))-π/2
    2×atan(0.22481724915925)-π/2
    2×0.221140490660353-π/2
    0.442280981320706-1.57079632675     		φ = -1.12851535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73828785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.596557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12851535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.659167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50899 KachelY 48335 1.73828785 -1.12851535 99.596557 -64.659167
    Oben rechts KachelX + 1 50900 KachelY 48335 1.73838373 -1.12851535 99.602051 -64.659167
    Unten links KachelX 50899 KachelY + 1 48336 1.73828785 -1.12855638 99.596557 -64.661518
    Unten rechts KachelX + 1 50900 KachelY + 1 48336 1.73838373 -1.12855638 99.602051 -64.661518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12851535--1.12855638) × R
    4.10299999999975e-05 × 6371000     		dl = 261.402129999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12851535--1.12855638) × R
    4.10299999999975e-05 × 6371000     		dr = 261.402129999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73828785-1.73838373) × cos(-1.12851535) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.428002072775225 × 6371000     		do = 261.445699597642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73828785-1.73838373) × cos(-1.12855638) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.427964990413793 × 6371000     		du = 261.42304778228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12851535)-sin(-1.12855638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428002072775225-0.427964990413793)×R²
    abs(1.73838373-1.73828785)×3.70823614321836e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.70823614321836e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.70823614321836e-05×40589641000000     		ar = 68339.5021472759m²